解：方程改写为 13y6-2x2 3 dx 2y3+x2 (2) 7.证明方程少 =f(xy)经变换y=u可化为变量 y 分离方程，并由此求解下列方程： (1)y(1+x2y2)dx =xdy (2) x dy 2+x2y2 y dx 2-x2y2 解：首先证明方程： xd=f(x) (*) y 经变换yy=可化为变量分离方程令y=山，则 首页 上页 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 2 2 2 2 2 (1) (1 ) 2 (2) 2 y x y dx xdy x dy x y y dx x y + = + = − 首先证明方程： 经变换xy u xy u = = 可化为变量分离方程 令 ,则 3 6 2 3 2 1 2 (2) 3 2 dy y x dx xy x − = + ( ) * （ ） x dy f xy y dx = ( ) x dy f xy xy u y dx 7 .证明方程 = = 经变换 可化为变量 分离方程,并由此求解下列方程： 解： 方程改写为 解：
dy I du 1 x dy 1 du 1 dx x dx x2 y dx xy dx xy 代入(*)整理得， d=“(1+fo )这是变量分离方程 dx x 其次解方程y(1+x2y2)=x令xy=u,则 xd=du-y=du.“代入所给方程整理得： du (r对两边积分u2) 2 u(2+w2)x In cx 左边=小分2=n石 因而(*)的 +u 通解是u=cx2√1+u2 回到变量(x,y),得(*)的 上而 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 dy du 1 1 u dx x dx x = − → x dy du 1 1 u y dx xy dx xy = − (1 ( )) . du u f u dx x 代入（*）整理得, = + 这是变量分离方程 2 2 其次解方程 y x y dx xdy xy u (1 ) + = = 令 , 则 - - : u xdy du ydx du dx x = = 代入所给方程整理得 2 2 (**) (2 ) ， du dx u u x = + 2 2 ln (2 ) du cx u u = + 对两边积分 2 2 1 - ln ** 2 1 u u du u u u = + + = 左边 （ ） 因而（ ）的 2 2 通解是 u cx u x y = +1 ( , ) (*) 回到变量 ，得 的
通解为y=x√1+x2y2 其中c为任意常数， 8.已知fx)∫f(t)t=1,x≠0，试求函数f(x) 的一般表达式。 解：fx)0fh=1 (1) (1)试两边对x积分： f(f(uyhud=x (2) 左端分部积分： day-Srir)d 首页 上页 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 2 通解为 y cx x y c = +1 其中 为任意常数. 0 ( ) ( ) 1 1 x f x f t dt = （） 0 0 ( ( ) ( ) ) (2) x t f t f u du dt x = 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t x t t f t f u du dt f u du d f u du dt = 0 ( ) ( ) 1, 0, ( ) x f x f t dt x f x = 8.已知 试求函数 的一般表达式。 （1）试两边对x积分： 左端分部积分： 解：
ww-FtrwfTwi SL fuyiulf(du 从而用2)试知。fw)a=2x→ ∫fuod=±v2x (3) (3)试也两边对x求导：f(x)=士 √2x 方法（二）。 由题意知，x≠0时f(x)≠0.所以原试可写为 ∫心ft= 1 (4) f(x) 页 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ( ) 2 0 0 0 0 ( ) ) [ ( ) ( ) ] t x t x = − f u du f t f u du dt ( ) 2 0 0 0 1 [ ( ) ( ) ] ( ) 2 x t x = f t f u du dt f u du 1 (3) ( ) 2 x f x x 试也两边对 求导： = 由题意知,x f x 0 ( ) 0. 时 所以原试可写为 0 1 ( ) (4) ( ) x f t dt f x = ( ) 2 0 ( ) 2 x 从而用(2)试知 f u du x = 0 ( ) 2 (3) x f u du x = 方法（二）
两边对x微分：f(x)= f2(x) 而f'(x)=-f3(x)(5) (5)试是一阶变量分离方程，变量分离的 (x =-dx (6) f3(x) (⑥)试两边积分得： f+c即f=t 2x+e(7 将7)代入)知c=0做fx)=±2x 9.求具有性质：x(t+s)=四+( 1) 1-x(t)x(s) 的函数x(t),已知x'(0)存在. 首页 上页 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 1 1 3 2 ( ) ( ) - ( ) - ( ) (5) ( ) f x x f x f x f x f x 两边对 微分: = = 而 3 ( ) (6) ( ) df x dx f x (5)试是一阶变量分离方程，变量分离的 = − (6)试两边积分得： 2 1 1 ( ) (7) 2 ( ) 2( ) x c f x f x x c = + = + 即 1 (7) (1) 0 ( ) 2 c f x x 将 代入 知 = = 故 ( ) ( ) 9. ( ) 1 1 - ( ) ( ) ( ), (0) x t x s x t s x t x s x t x + + = 求具有性质： （ ） 的函数 已知 存在