则称此极限为函数 F(x,J)在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分，或第二类曲线积分其中，P(x,y)，Q(x,y)称为被积函数L称为积分弧段或积分曲线nZP(Ek,nk)Axk P(x, y)dx= lim10k=1称为对x的曲线积分：nZ[, Q(x, y)dy= limQ(Sk,nk)Ayk 20k=1称为对的曲线积分
( , )d L P x y x 0 1 lim ( , ) , n k k k k P x → = = ( , )d L Q x y y 0 1 lim ( , ) , n k k k k Q y → = = 称为对x的曲线积分; 称为对y的曲线积分. 在有向曲线弧L上 对坐标的曲线积分, 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, L称为积分弧段或积分曲线. 称为被积函数
ds=(dx,dy),对坐标的曲线积分也可写作若记(, F.ds = (, P(x,y)dx +Q(x,y)dy类似地，若为空间曲线弧，记ds=(dx,dy, dz)F(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x, y,z), R(x,y,z)[. F -d s = [ P(x, y,z)dx+Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz
若为空间曲线弧, 记 若记 d (d , d ) s x y = ,对坐标的曲线积分也可写作 d ( , )d ( , )d L L F s P x y x Q x y y = + F x y z P x y z Q x y z R x y z ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) = 类似地, d (d , d , d ) s x y z =
3. 性质(1）若L可分成k条有向光滑曲线弧L, (i=1,...,k)则(, P(x,y)dx +Q(x, y)dykZIP(x,y)dx + Q(x,y)dyJLi=1(2)用L一表示L的反向弧，则_ P(x, y)dx +Q(x,y)dy = -(, P(x,y)dx +Q(x, y)dy说明·对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向！，定积分是第二类曲线积分的特例
3. 性质 (1) 若L可分成k条有向光滑曲线弧 ( , )d ( , )d L P x y x Q x y y + 1 ( , )d ( , )d i k L i P x y x Q x y y = = + (2) 用L－ 表示L的反向弧, 则 ( , )d ( , )d L = − + P x y x Q x y y 则 • 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明 • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
二、对坐标的曲线积分的计算法定理若P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且x=(t) t:α→β,则曲线积分连续，L的参数方程为y=y(t)存在,且有[. P(x,y)dx + Q(x, y)dy[( P[0(t), y (t) '(t)+2p(t), y(t)'(t)dt证明下面先证[, P(x,y)dxP[p(t), y (t)lp'(t)dta
二、对坐标的曲线积分的计算法 定理 在有向光滑弧L上有定义且 L的参数方程为 ( ) ( ) x t y t = = t : , → 则曲线积分 P t t [ ( ), ( )] = ( )t +Q t t [ ( ), ( )] ( )t dt 连续, 证明 下面先证 P t t t [ ( ), ( )] d = ( )t 存在,且有
nZF[, P(x,y)dx= limP(5,,n:)Ax;根据定义2-→0i=1Ti，由于设分点 X,对应参数 ti,点（s;,n)对应参数Ax; = x; -x;-F p(t,) -p(ti-1)= p'(t)At,nZP[(t,),V(t,)]0'(t)At, P(x, y)dx= lim-0i=1所以βp'(t)连续因为L为光滑弧，nZ1=limP[p(t,), y(t,)p'(t,)△t2-0i=1P[p(t), y(t)lp'(t)dt同理可证S,Q(x, y)dy= f° Q[p(t), y (t)l y'(t) dt
设分点 对应参数 根据定义 i x , i t , i 由于 i i i 1 x x x = − − 1 ( ) ( ) i i t t − = − ( )i i = t P t t t [ ( ), ( )] d = 0 1 lim [ ( ), ( )] n i i i P → = = ( )i i t 0 1 lim [ ( ), ( )] n i i i P → = = ( )i i t ( )t 0 1 lim ( , ) n i i i i P x → = = 对应参数 因为L为光滑弧, 同理可证 Q t t t [ ( ), ( )] d = ( )t 点 连续