n P(Ek, nk)Axk :(, P(x, y)dx = lim1→0k=1称为对x的曲线积分：n(, Q(x, y)dy= limQ(Ek, nk)Ayk ,→0 k=1称为对的曲线积分若记ds=(dx,dy),对坐标的曲线积分也可写作( F.ds = ( P(x,y)dx+Q(x, y)dyJL类似地，若I为空间曲线弧，记 ds=(dx,dy,dz)F(x, y,z) =(P(x, y,z2), Q(x, y, 2), R(x, y,z)[_ F .ds = [_ P(x, y, z)dx+Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dzoo0x机动目录上页下页返回结束
L P(x, y)dx lim ( , ) , 1 0 → = = n k k k k P x L Q(x, y)dy lim ( , ) , 1 0 → = = n k k k k Q y 若 为空间曲线弧 , 记 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 若记 d s = (d x, dy) , 对坐标的曲线积分也可写作 = + L L F d s P(x, y)dx Q(x, y)dy F(x, y,z) = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)) 类似地, d s = (d x, dy , dz) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧L,（i=l，,k)则 ( P(x, y)dx +Q(x, y)dyk=Z, P(x, y)dx + Q(x, )dyJLi-1(2)用L～表示 L的反向弧，则[- P(x, y)dx + Q(x, y)dy = -(, P(x, y)dx + Q(x, y)dyOe000X机动目录上页下页返回结束
3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 + L P(x, y)dx Q(x, y)dy = = + k i Li P x y x Q x y y 1 ( , )d ( , )d (2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则 = − + L P(x, y)dx Q(x, y)dy 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：1.第二类曲线积分与积分曲线方向有关，这是第二类曲线积分的一个重要特征，也是区别与第一类曲线积分的一个特征2.若积分为闭路，这时对于每种情形，都要说明积分是沿什么方向3.平面闭路只要方向不变，第二类曲线积分的值与起点无关Oe00X机动目录上页下页返回结束
积分的一个特征. 说明: 1. 第二类曲线积分与积分曲线方向有关, 这是第二 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类曲线积分的一个重要特征, 也是区别与第一类曲线 2. 若积分为闭路, 这时对于每种情形, 都要说明积分 是沿什么方向. 3. 平面闭路只要方向不变, 第二类曲线积分的值与 起点无关
二、对坐标的曲线积分的计算定理：设 P(x,J),Q(x,J)在有向光滑弧 L上有定义且x=(t)连续，L的参数方程为t [α,β]或t E[β,α]y=y(t)其中t=α,t=β分别对应于曲线 L的起点A和终点 B,则曲线积分[, P(x, y)dx +Q(x, y)dy(P[p(t), y(t)lp'(t)+Q[g(t), y(t)]y'(t))d t证明：下面先证[, P(x, y)dx = ["β P[p(t), y(t)]p'(t)dtQO0000x机动目录上页下页返回结束
二、对坐标的曲线积分的计算 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 = = ( ) ( ) y t x t t t [ , ] [ , ] 或 则曲线积分 = P[ (t), (t)](t)+ Q[ (t), (t)](t)d t 连续, 证明: 下面先证 P[ (t), (t)] dt = (t) 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束 t t = = , 分别对应于曲线 L 的起点 A 和终点 B
n根据定义「P(x,y)dx= limZ P(Si, ni)Axi元0=1设分点x,对应参数ti，点(si,ni)对应参数 ti,由于△x; = x; -xi-1= (t:)-β(ti-1) = @'(t))△tin[ P(x, y)dx = lim Z P[p(t,), y(t,)l p'(t)Ati2>0 :=1因为L为光滑弧,所以β(t)连续n= limE P[β(t;), y(t,)]p(t,)ti1→0i=1BP[p(t), y(t)]p'(t)dtQ( Q(x, y)dy=(P Q[p(t), y(t)l yr'(t) d t同理可证O00x机动目录上页下页返回结束
设分点 对应参数 根据定义 i x , i t , i 由于 i = i − i−1 x x x ( ) ( ) = i − i−1 t t i i =()t P[ (t), (t)] dt = → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )] i i ()t → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )] i i ( )t (t) → = = n i i i i P x 1 0 lim ( , ) 对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 Q[ (t), (t)] d t = (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束