西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITYS 9.7向量到子空间的距离一、向量到子空间的距离二、最小二乘法
§9.7 向量到子空间的距离 一、向量到子空间的距离 §9.7 向量到子空间的距离 二、最小二乘法
西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY一、向量到子空间的距离1.向量间的距离定义长度α-β称为向量α和β的距离，记为 d(α,β),基本性质(i) d(α,β)=d(β,α)(ii）d(α,β)≥0,并且仅当α=β的等号才成立;(ii)(三角形不等式)d(α,β)≤d(α,r)+d(,β)
§9.7 向量到子空间的距离 1. 向量间的距离 长度 − 称为向量 和 的距离， 基本性质 （i） d d ( , , ) = ( ) （ii） d ( , 0, ) 并且仅当 = 的等号才成立； （iii）(三角形不等式) d d d ( , , , . ) + ( ) ( ) 一、向量到子空间的距离 定义 记为 d ( , .)
西安毛子科技大学一XIDIANUNIVERSITY2.向量到子空间的距离(1设α为一固定向量，如果 α与子空间W中每个向量垂直，称α垂直于子空间W，记作αw.注:如果W = L(α,α2,"",α),则αlWαlα,, i=1,2,,k
§9.7 向量到子空间的距离 2.向量到子空间的距离 (1) 设 为一固定向量 ，如果 与子空间 W 中 每个向量垂直， 称 垂直于子空间 W , 记作 ⊥ W . 如果 W L = ( , , , ), 1 2 k 则 , 1,2, , . ⊥ ⊥ = W i k i 注:
西要毛子律技大學XIDIAN UNIVERSITY(2）向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短。如图示意，对给定β，设是W中的满足β-W的向量，则对VW有[β-≤[β-].β-y-8
§9.7 向量到子空间的距离 (2) 向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短. − − − 如图示意，对给定 ，设 是 W 中的满足 − ⊥ W 的向量，则 对 W 有 − −
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY证明： β-=(β-)+(-),因W是子空间，yew,sew,则 -W,故β--.由勾股定理+=,所以 β-≤β--T
§9.7 向量到子空间的距离 − = − + − ( ) ( ), 因 W 是子空间， W W , , 则 − W , 由勾股定理 2 2 2 − + − = − , 证明： 故 − ⊥ − . 所以 − − . − − −