西安毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITYs 9.4正交变换一、一般欧氏空间中的正交变换二、n维欧氏空间中的正交变换
§9.4 正交变换 一、一般欧氏空间中的正交变换 §9.4 正交变换 二、n 维欧氏空间中的正交变换
西要毛子律技大枣XIDIAN UNIVERSITY一、一般欧氏空间中的正交变换1.定义欧氏空间V的线性变换如果保持向量的内积不变即，((α),α(β))=(α,β),α,βV则称为正交变换注:欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度不变的正交变换的推广
§9.4 正交变换 一、一般欧氏空间中的正交变换 1.定义 即 ， ( ( ), ( ) ( , ), ) = , V 欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变， 则称 为正交变换. 注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度 不变的正交变换的推广
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY2.欧氏空间中的正交变换的刻划（定理4）设是欧氏空间V的一个线性变换下述命题是等价的：1）是正交变换；2）α保持向量长度不变，即[o(α)] = [α],VαeV;3）保持向量间的距离不变，即d(α(α),o(β)=d(α,β),Vα,βeV
§9.4 正交变换 2.欧氏空间中的正交变换的刻划 下述命题是等价的： （定理4）设 是欧氏空间V的一个线性变换. d d V ( ( ), ( ) , , , ) = ( ) 3） 保持向量间的距离不变，即 2） 保持向量长度不变，即 1） 是正交变换； ( ) , ; = V
西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY证明：首先证明1)与2)等价。1)→2)：若是正交变换，则((α),α(α))=(α,α), Vα V即，a(α)=α(α)=α, VαV,两边开方得，2)=→1):若保持向量长度不变，则对Vα,βeV(1)有，(α(α),o(α) = (α,α),(α(β),α(β))=(β,β),(2)
§9.4 正交变换 证明：首先证明1)与2)等价． 1) 2) : 即， 2 2 ( ) = ( ( ), ( ) ( , ), ) = V 两边开方得， ( ) , , = V 若 是正交变换，则 2) 1) : 有， ( ( ), ( ) ( , ) ) = , (1) ( ( ), ( ) ( , ), ) = (2) 若 保持向量长度不变，则对 , V
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY(3)(α(α+β),o(α+ β))=(α+ β,α+ β),把(3)展开得，(α(α),o(α) + 2(α(α),α(β) +(α(β),α(β))=(α,α)+2(α,β)+(β,β)再由(1)(2)即得,(α(α),α(β)=(α, β)：α是正交变换
§9.4 正交变换 把(3)展开得， ( ( ), ( ) 2 ( ), ( ) ( ), ( ) ) + + ( ) ( ) = + + ( , ) 2( , ) ( , ) 再由(1)(2)即得， ( ( ), ( ) ( , ) ) = ( ( ), ( ) ( , ), + + = + + ) (3) 是正交变换．