西安毛子科技大二XIDIAN UNIVERSITY即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必出现在d，(）的分解式中，次高的必出现在dn-i(a)的分解式中。如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幕的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的
即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中， 方次最高的必出现在 dn ( ) 的分解式中，次高的必 出现在 的分解式中. 1 ( ) n d − 如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂 的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是 唯一确定的
西安毛子科技大XIDIANUNIVERSITY③设n级矩阵A的全部初等因子为已知在全部初等因子中，将同一个一次因式(a-2,) j=1,2,...r的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数的1，使其凑成n个，设所得排列为(a-a,),(a-a,)-j,.,(a-a,), j=1,2,..r
③ 设 n 级矩阵 A 的全部初等因子为已知. 在全部初等因子中，将同一个一次因式 ( ) 1,2, j − =j r 的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初 等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数 的1，使其凑成n个，设所得排列为 1, 1 ( ) , ( ) , , ( ) , 1,2, . n j n j j k k k j j j j r − − − − =
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY于是令d,(x)=(a-a)kn(a-a2)ki2 ..(a-a,)kr, i=1,2,.",n则 d,(x), d,(x), ..., d,(x)就是A的不变因子
于是令 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1,2, , i i ir k k k i r d x i n = − − − = 则 1 2 ( ), ( ), , ( ) n d x d x d x 就是A的不变因子
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY例1、已知3级矩阵A的初等因子为：（a-1)2,-2.求A的不变因子(a-1)*,1,1解：作排列2-2, 1,1得A的不变因子为：d,(x) =(a-1)(a-2),d,(x)=d,(x) = 1
例1、已知3级矩阵A的初等因子为： 2 ( 1) , 2. − − 求A的不变因子. 解：作排列 2 ( 1) , 1, 1 − − 2, 1, 1 得A的不变因子为： 2 3 d x( ) ( 1) ( 2), = − − 2 1 d x d x ( ) ( ) 1. = =