西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第九章 欧氏空间 9.6 对称矩阵的标准形

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITYS 9.6对称矩阵的标准形一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵（自学）四、实二次型的主轴问题

§9.6 对称矩阵的标准形 §9.6 对称矩阵的标准形 一、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵 四、实二次型的主轴问题（自学）

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY实对称矩阵的一些性质引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数证：设2.是A的任意一个特征值，则有非零向量Xi.S=Xn)满足 A=

§9.6 对称矩阵的标准形 一、实对称矩阵的一些性质 引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数． 1 2 n x x x      =         证：设 0 是A的任意一个特征值，则有非零向量 满足 0 A   =

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYX1X2..=其中xi为x,的共轭复数，..Xn又由A实对称，有 A=A，A=A，A=A.. =() =(A) =(FA)5(E A') =(AE) =(AE)=(5) =() =

§9.6 对称矩阵的标准形A A A A = = , ,  其中 x x i 为 i 的共轭复数， 1 2 , n x x x      =         令    0   ( )   A  =  = ( ) A  又由A实对称，有 ( )    0 =  A A   =   ( ) A     ( ) 0 =  = ( )   A  = = ( ) A  0 = ( )       0  =

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY-5考察等式，由于是非零复向量，必有F'$ = xix+ +x2x2 +...+Xnx, * 0故 =.： R

§9.6 对称矩阵的标准形 1 2 1 2 n 0 n   x x x x x x  = + + +  由于  是非零复向量，必有 故 0 0   = . 0    R. 考察等式， 0       0   =

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY引理2设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间R"上定义一个线性变换。如下：VαER"α(α) = Aα,则对任意α,βeR"，有(α(α),β)=(α,α(β))即β'(Aα) = α(Aβ)

§9.6 对称矩阵的标准形 引理2 设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间 上 n R ( ) , n     =   A R 定义一个线性变换  如下： (      ( ), , ( ) , ) = ( ) 则对任意  , ,  R n 有 即       ( ) ( ). A A =