山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（教案讲义）第九章 欧几里得空间

有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式设61,62,6,与n,n2n是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A=(a,），即(aai2.. aina21a22..a2n(n1,n2",nn)= (61,62,",6n)：.(aman2...an因为n1,2,n,是标准正交基，所以[1,当i=j;(4)(n,n,)=[o,当ij.矩阵A的各列就是n,n2n在标准正交基j,2"8下的坐标.按公式(3)(4)式可以表示为[1,当i=];(5)aia,+a2a2,+.+ananj[o,当ij(5)式相当于一个矩阵的等式(6)A'A=E或者A-I = A'定义7n阶实矩阵A称为正交矩阵，如果A'A=E由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵：反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基最后指出，根据逆矩阵的性质，由11

11 有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正 交基的基变换公式. 设 n  , , , 1 2  与   n , , , 1 2  是欧氏空间 V 中的两组标准正交基，它 们之间的 过渡矩阵是 ( ) A  aij ，即 (1 ,2 ,  ,n )                n n n n n n n a a a a a a a a a        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 ( , , , ) 因为   n , , , 1 2  是标准正交基，所以       0, . 1, ; ( , ) i j i j i j 当 当   (4) 矩阵 A 的各列就是   n , , , 1 2  在标准正交基 n  , , , 1 2  下的坐标.按公 式(3),(4)式可以表示为          0 , . 1 , ; 1 1 2 2 i j i j a ia j a ia j an ian j 当 当  (5) (5)式相当于一个矩阵的等式 AA  E (6) 或者 A  A 1 定义 7 n 阶实矩阵 A 称为正交矩阵，如果 AA  E 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第 一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定 也是标准正交基. 最后指出，根据逆矩阵的性质，由

A'A=E即得AA'=E写出来就是[1,当i=j;(7)a,aj+a2aj2+..+amam=[o,当ij.(5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系是等价的例2欧氏空间R"的基,=(0,,0,1,0,…,0)，i=1,2,n是R"的一个标准正交基12

12 AA  E 即得 AA  E 写出来就是          0 , . 1 , ; 1 1 2 2 i j i j ai a j ai a j ain a jn 当 当  (7) (5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两 组关系是等价的. 例 2 欧氏空间 n R 的基 (0, ,0, 1,0, ,0 i i   （） ）,i 1,2,  ,n 是 n R 的一个标准正交基