称为基8,62，,6,的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算，因而度量矩阵完全确定了内积例 6 在R[xl;中，定义内积(f(x),g(x)=f(x)g(x)dx，求基1，x，x的度量矩阵2不同基的度量矩阵是合同的设2n是空间的另外一组基，而由j62到2的过渡矩阵为C，即(n,n2,"",nn)=(6j,82,"",8,)C于是不难算出，基n,n2,n的度量矩阵(11)B=(b,)=(n,n,)=C'"AC .这就是说，不同基的度量矩阵是合同的例7:在R3中，求(1)基α=(1,0,0)，α,=(1,1,0)，α,=(1,1,1)所对应的度量矩阵(2)基β=(1,0,0)，β,=(1,2,0)，β,=(1,1,3）所对应的度量矩阵3度量矩阵是正定根据条件(4)，对于非零向量α，即00X+(o)有(α,α) = X'AX >0因此，度量矩阵是正定的6
6 称为基 n , , , 1 2 的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度 量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10） 来计算，因而度量矩阵完全确定了内积. 例 6 在 3 R x[ ] 中 , 定义 内 积 1 1 ( ( ), ( )) ( ) ( ) f x g x f x g x dx , 求 基 2 1, , x x 的度量矩阵 2 不同基的度量矩阵是合同的 设 n , , , 1 2 是空间 V 的另外一组基，而由 n , , , 1 2 到 n , , , 1 2 的过渡矩阵为 C ，即 (1 ,2 , ,n ) ( 1 , 2 , , n )C 于是不难算出，基 n , , , 1 2 的度量矩阵 B b C AC ij i j ( , ) . (11) 这就是说，不同基的度量矩阵是合同的. 例 7: 在 3 R 中，求 (1) 基 1 (1, 0, 0), 2 (1,1, 0), 3 (1,1,1) 所对应的度量矩阵 (2) 基 1 (1, 0, 0), 2 (1,2, 0), 3 (1,1, 3) 所对应的度量矩阵 3 度量矩阵是正定 根据条件(4)，对于非零向量 ，即 0 0 0 X 有 (,) XAX 0 因此，度量矩阵是正定的
4反之，给定一个n级正定矩阵A及n维实线性空间V的一组基j,62,,，可以规定V上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的81,62,,8,度量矩阵是A见习题1.欧几里得空间以下简称为欧氏空间7
7 4 反之，给定一个 n 级正定矩阵 A 及 n 维实线性空间 V 的一组基 n , , , 1 2 . 可以规定 V 上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的 n , , , 1 2 度量矩阵是 A . 见习题 1. 欧几里得空间以下简称为欧氏空间
S2标准正交基一、正交向量组1.定义5欧氏空间V的一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一个正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组2.正交向量组是线性无关的3．上述结果说明，在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n个.二、标准正交基1.定义6在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基2．设&,2,6,是一组标准正交基，由定义，有-J1,当i=j;(1)(6,6,)=3[o,当i+j显然，（1)式完全刻画了标准正交基的性质换句话说，一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵3.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在n维欧氏空间中存在一组基它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在n维欧氏空间中，标准正交基8
8 §2 标准正交基 一、正交向量组 1．定义 5 欧氏空间 V 的一组非零的向量, 如果它们两两正交， 就称为一个正交向量组. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是 正交向量组. 2．正交向量组是线性无关的. 3．上述结果说明，在 n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不 能超过 n 个. 二、标准正交基 1．定义 6 在 n 维欧氏空间中，由 n 个向量组成的正交向量组称 为正交基； 由单位向量组成的正交基称为标准正交基组. 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基. 2． 设 n , , , 1 2 是一组标准正交基，由定义，有 0, . 1, ; ( , ) i j i j i j 当 当 (1) 显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质. 换句话说，一组基为 标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵. 3．因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的 结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在 n 维欧氏空间中存在一组基， 它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在 n 维欧氏空间中，标准正交基
是存在的4.在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即(2)α=(61,α)s)+(82,α)62+...+(8n,α)6,在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设α=X+xe2+...+,enB=J8 +y282 +...+ynon那么(3)(α,β)=xyi+xy, +...+x.yn=XY这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的，这说明了，所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位三、标准正交基的存在性及其正交化方法1.把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特（Schimidt）正交化过程设α,α2,α㎡是一组线性无关的向量(1）正交化β, =α1(α,β)β,=α -((β,β)B,=α -(aP) p-(a ) p.(B,B)(B2,β2)9
9 是存在的. 4．在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来， 即 n n ( ,) ( ,) ( ,) 1 1 2 2 . (2) 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设 . 1 1 2 2 n n x x x . 1 1 2 2 n n y y y 那么 ( , ) . x1 y1 x2 y2 xn yn XY (3) 这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推 广. 应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的. 这 说明了，所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位. 三、标准正交基的存在性及其正交化方法 1．把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些 书和文献中称为施密特（Schimidt）正交化过程 设 1 2 , , , m 是一组线性无关的向量 (1) 正交化 1 1 2 1 2 2 1 1 1 ( , ) ( , ) 3 1 3 2 3 3 1 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
(g,B) B - (αs,B) B, - (as,B)β, =α -(β1,β)(β2,β) P(β3,β,)由此推出(arPBβ= αk-台(β,β)(2)单位化例 1α,=(1,1,0,0),α, =(1,0,1,0),α,=(-1,0,0,1),α4=(1,-1,-1,1) 变成单位正交组2.定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法，如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.、再单位化，就得到一组标准正交基3．定理2对于n维欧氏空间中任意一组基6j,82,8，都可以找到一组标准正交基n1,n2n，使L(6),82,",6,)= L(n,2,",n), i=1,2,",n应该指出，定理中的要求L(),82,,8)= L(n,n2,",n), i=1,2,,n就相当于由基,628到基n2n的过渡矩阵是上三角形的三、正交矩阵上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占10
10 4 1 4 2 4 3 4 4 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 由此推出 1 1 ( , ) ( , ) k k i k k i i i i (2) 单位化 例 1 1 2 3 4 (1,1,0,0), (1,0,1,0), ( 1,0,0,1), (1, 1, 1,1) 变成单 位正交组 2．定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标 准正交基. 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向 量组的方法. 如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩 充，最后就得到一组正交基.、再单位化，就得到一组标准正交基. 3．定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一组基 n , , , 1 2 ，都可以找 到一组标准正交基 n , , , 1 2 ，使 L( 1 , 2 , , i ) ( , , , ) , 1,2, , . L 1 2 i i n 应该指出，定理中的要求 L( 1 , 2 , , i ) ( , , , ) , 1,2, , . L 1 2 i i n 就相当于由基 n , , , 1 2 到基 n , , , 1 2 的过 渡矩阵是上三角形的. 三、正交矩阵 上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占