给定的正数&，不论x取(-0，+o)上什么值，都有 N名当A>N时恒有 sinnx <￡，所以函数列 sinnx 在(-o,+o)上一致收敛于f(x)=0. 函数列{f}在D上不一致收敛于f的正面陈述是： 存在某正数，对任何正数N,都有某一点x∈D和 某一正整数n,>N(注意：x,与n,的取值与N有关)， 使得 前页 返间
前页 后页 返回 给定的 正数 ,不论 x 取 (- ,+ ) 上什么值, 都有 N 1 当 时 恒有 n N , sinnx n , , 所以函数列 sin ( ) 0 nx f x n 在(- ,+ )上一致收敛于 . 在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是: n 函数列 f 存在某正数 0 , 对任何正数 N, 都有某一点 0 x D 和 0 0 ( 注意: x n 与 的取值与 N 有关 ), 某一正整数 n N 0 使得
f(x)-fx)≥ 由例1中知道，{x”}在(0，)上不可能一致收敛于0. 下面来证明这个结论. 车实上若取6号对任何正整数N≥2，取正整 数n=N及=1)0以就有 -0=1分 前页 后页 返回
前页 后页 返回 0 0 0 0 ( ) ( ) . n f x f x (0, 1) 0. n 由例1 中知道, x 在 上不可能一致收敛于 下面来证明这个结论. 事实上, 若取 0 1 , 2, 2 对任何正整数 N 取正整 1 0 0 1 1 (0, 1), N n N x N 数 及 就有 0 0 1 1 0 1 . 2 n x N
函数列{fm}一致收敛于f的几何意义：如图所示， ∀ε>0，N>0,对于序 号大于N的所有曲线 y=f(x)+8-1 y=f(x) y=f(x) y=f (x)(n>N), 2-y=fx)-8 都落在曲线y=f(x)+e 与y=f(x)-8所夹的带 0 图13-1 状区域之内， 前页 后页 返回
前页 后页 返回 函数列 f f n一致收敛于 的几何意义:如图所示, 号大于 N 的所有曲线 都落在曲线 y f x ( ) 与 y f x ( ) 所夹的带 状区域之内. ( ) ( ), n y f x n N 0 0, , N 对于序 O y x y f x ( ) ( ) n y f x a b y f x ( ) y f x ( ) 图 13-1
函数列{x"}在区间(0,1)上 y 不一致收敛，从几何意义上 看，就是存在某个预先给定 的ε(<1)，无论N多么大， .2 总存在某条曲线 -8 y=x"(n>N), 不能全部落在由y=8与 图13-2 y=-￡夹成的带状区域内（图13-2）.若函数列{x”} 只限于在区间[0，b](b<1)上，则容易看到，只要 前顶 返回
前页 后页 返回 { } (0, 1) n 函数列 x 在区间 上 不一致收敛, 从几何意义上 看, 就是存在某个预先给定 的 (<1), 无论 N 多么大, 总存在某条曲线 ( ), n y x n N 只限于在区间 0, ( 1) b b 上, 则容易看到, 只要 1 x y O x 2 x 图 13 2 1 1 3 x 不能全部落在由 y 与 y 夹成的带状区域内(图13-2). { }n 若函数列 x
n>nE(其中0<6<1)，曲线y=x就全部落在 Inb y=ε和y=-所夹成的带状区域内，所以{x“}在 [0,b]上是一致收敛的. 定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列{f} 在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε， 总存在正数N,使当n,m>N,对一切x∈D,都有 If(x)-f(x)E. (4) 证必要性设fn(x)3f(x)(n→oo),x∈D,即对 前页
前页 后页 返回 ln ( 0 1), ln n b 其中 n 曲线 y x 就全部落在 y 和 y 所夹成的带状区域内，所以 n x 在 0, b 上是一致收敛的. 定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 { }n f 在数集 D 上一致收敛的充要条件是: 对任给正数 , 总存在正数N, 使当 n m N , , 对一切 x D , 都有 | ( ) ( ) | . (4) n m f x f x ( ) ( ) ( ), n 证 必要性 设 f x f x n x D ， 即对