当x=0和x=1时，则对任何正整数n,都有 1f(0)-f(0)=0<8, If(1)-f(1)=0<6. 这就证明了{f}在(-1,1)上收敛，且极限就是(3) 式所表示的函数. 又当|x>1时，有|x”→+o(n→o),当x=-1时， 对应的数列为-1,1，-1,1.，显然是发散的.所以 函数列{x”}在区间(-1，川外都是发散的.故所讨论 的函数列的收敛域是(-1,1. 前页 后顶 返回
前页 后页 返回 当 和 时 则对任何正整数 都有 x x n 0 1 , , | (0) (0) | 0 n f f ， | (1) (1) | 0 . n f f 式所表示的函数. | | 1 | | ( ), n 又 当 时, 有 x x n 当 时 x 1 , 对应的数列为 1, 1, 1, 1 , 显然是发散的. 所以 { }n 函数列 x 在区间 ( 1, 1] 外都是发散的. 故所讨论 的函数列的收敛域是 ( 1, 1]. 这就证明了 { } 在( , 1] 上收敛, 且极限就是(3) n f 1
例2定义在(-0，+o)上的函数列f,()=sin心， n=1,2,. 由于对任何实数七，都有 故对任给的ε>0，只要n>N=-,就有 <e. 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 例2 sin ( , ) ( ) , n nx f x n 定义在 上的函数列 n 1,2, . sin 1 , nx n n 1 0, , n N 故对任给的 只要 就有 sin 0 . nx n 由于对任何实数 都有 x
所以函数列{sinx/n}的收敛域为(-oo,+oo),极限 函数为f(x)=0. 注对于函数列，仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系.例如，能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性；或极限函数的导数或积分，是否分别是函数列 每项导数或积分的极限.对这些更深刻问题的讨论， 必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行. 前页 返回
前页 后页 返回 所以函数列 sin ( , ), nx n的收敛域为 极限 函数为 f x( ) 0. 注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系. 例如, 能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列 每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行
定义1设函数列{f}与函数f定义在同一数集D 上，若对任给的正数8，总存在某一正整数N,使当 n>N时，对一切x∈D,都有 |fn(x)-fx)Kε， 则称函数列{f}在D上一致收敛于f,记作 fn(x)3f(x)n→o),x∈D. 由定义看到，一致收敛就是对D上任何一点，函数列 趋于极限函数的速度是“一致”的.这种一致性体现 前页
前页 后页 返回 设函数列{ }n 定义1 f f 与函数 定义在同一 数集 D 上， 若对任给的正数 总存在某一正整数 , , N 使当 n N 时， 对一切 都有 x D , | ( ) ( ) | n f x f x ， { }n 则称函数列 在 上一致收敛于 ,记作 f D f f x f x n x D n ( ) ( )( ) , . 由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列 趋于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现
为：与相对应的N仅与8有关，而与x在D上的 取值无关，因而把这个对所有x都适用的N写作 N(e). 显然，若函数列{∫n}在D上一致收敛，则必在D上 每一点都收敛.反之，在D上每一点都收敛的函数列， 它在D上不一定一致收敛， sinnx 例2中的函数列 是一致收敛的，因为对任意 前页
前页 后页 返回 N( ). 显然, 若函数列 f n 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上 每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列, 它在 D 上不一定一致收敛. 为: 与 相对应的 N 仅与 有关, 而与 x 在 D 上的 取值无关, 因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作 例2 中的函数列 sinnx n 是一致收敛的, 因为对任意