沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第5章 大数定律与中心极限定理 5.1 大数定律

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*复习引入“概率是频率的稳定值”。当随机试验的次数无限增大时，频率总在其概率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理论，在概率统计中具有重要地位。洗阳师范大学ShenYangNiormalUniver

*复习引入 • “概率是频率的稳定值”。当随机试验的次数无限增 大时，频率总在其概率附近摆动，逼近某一定值。 大数定理就是从理论上说明这一结果。 • 正态分布是概率论中的一个重要分布，它有着非常 广泛的应用。中心极限定理阐明，原本不是正态分 布的一般随机变量总和的分布，在一定条件下可以 渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基 本理论，在概率统计中具有重要地位

*知识框架DX切比雪夫不等式：X的期望和方差均存在，PIIX-EX|≥}≤P(X-EX|<6)≥1-DXC切比雪夫大数定律：只要求(X，两两不相关，并不要求它们是同分布的.使DX,≤c，-x=1lim Pn-0一p<ε=1伯努利大数定律：n重伯努利试验，limPn00辛钦大数定律：不要求随机变量序列(X，的方差存在，但X，需是独立同分布的随12CX, -μ<8[=1.机变量序列EX,=μ，limPn>00ni-沈阳师范大学ShenYang Normal Uny

*知识框架 切 比 雪 夫 不 等 式 ： X 的 期 望 和 方 差 均 存 在 ,   2 DX P X EX   −   ，   2 1 DX P X EX   −   − . 切比雪夫大数定律：只要求X n 两两不相关,并不要求它们是同分布的.使 DX c i  ， 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P X EX n n  → = =     −  =     伯努利大数定律： n 重伯努利试验，lim 1 A n n P p n  →     −  =   . 辛钦大数定律： 不要求随机变量序列X n 的方差存在，但X n 需是独立同分布的随 机变量序列 EXi =  ， 1 1 lim 1 n i n i P X n   → =     −  =   

依概率收敛与大数定律·预备知识·切比雪夫（Chebyshev)不等式：设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=2,则对于任意正数>0,有9P( X - μ)≤?9α P(IX-μ<)≥1-沈阳师范大学ShenYangNoemal Univenit

( ) 2 2 | |   P X −     •预备知识 •切比雪夫(Chebyshev)不等式:设随机变量X具有数 学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 ,则对于任意正数ε> 0,有 ( ) 2 2 P X 1      −   − 一 . 依概率收敛与大数定律

分析应用切比雪夫不等式的利与整在切比雪夫不等式给出的估计中，只需要知道数学期望和方差两个数字特征就够了（而无需知道分布函数)，因而使用起来比较方便，这是它的优点。但是也正因为它没有完整地利用到随机变量的统计规律一分布函数，所以一般来说，它给出的估计是比较粗糙的。但是切比雪夫不等式主要在理论研究中发挥重要作用。P≤)≥1-<% P(X-P( X-μZ)≤8C沈阳师范大学snenYangNormalUnv

5 • 分析应用切比雪夫不等式的利与弊 在切比雪夫不等式给出的估计中，只需要知 道数学期望和方差两个数字特征就够了(而无需知 道分布函数)，因而使用起来比较方便，这是它的 优点。但是也正因为它没有完整地利用到随机变 量的统计规律－分布函数，所以一般来说，它给 出的估计是比较粗糙的。 但是切比雪夫不等式主要在理论研究中发挥 重要作用。 ( ) 2 2 | |   P X −     ( ) 2 2 1    P X −     −