总复习高等数学1（上）教案期末总复习一、函数（1）理解函数、复合函数、分段函数的概念（2）掌握基本初等函数的性质及其图形，能建立简单应用问题中的函数关系，会表示函数，（3）了解初等函数、隐函数、反函数的概念，了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。二、极限与连续（1）理解数列和函数极限的概念、性质及极限存在的两个准则，理解无穷小量的概念和基本性质理解无穷大量的概念及与无穷小量的关系，掌握无穷小量的比较方法，掌握极限四则运算法则，会判断间断点的类型，会应用两个重要极限（2）理解函数连续性的概念，了解初等函数的连续性及连续函数和闭区间上连续函数的性质及简单应用，三、导数与微分（1）理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，（2）掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数、反函数、隐函数和参数方程的求导法则，掌握对数求导法，会求平面曲线的切线与法线方程，会求简单函数的二阶导数，会求函数的微分。复（3）了解高阶导数、微分、导数与微分的关系、一阶微分形式的不变性、导数的几何意义及经习济意义引四、中值定理与导数的应用（1）理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理，掌握这三个定理的简单应用，（2）掌握用洛必达法则求极限的方法，掌握函数极值、最大和最小值的求法及其应用，（3）会判别函数的单调性、凹凸性，会求函数图形的拐点和渐近线，会描绘简单函数的图形（4）了解导数在经济学中的简单应用五、不定积分（1）理解原函数与不定积分的概念（2）掌握不定积分的基本性质与基本积分公式，掌握不定积分的换元积分和分部积分法，六、定积分及其应用（1）理解定积分的概念及基本性质，掌握变限积分的概念及性质并会求变限积分的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式及定积分的换元积分法与分部积分法（2）了解反常积分的概念，会计算简单的反常积分，七、微分方程[F(x,y,y')=0,一阶微分方程的一般形式：一(y'=f(x,y)计算机与数学基础教学部杨淑辉- 128 -
高等数学 1（上）教案 总复习 - 128 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 期末总复习 复 习 引 入 一、函数 （1）理解函数、复合函数、分段函数的概念． （2）掌握基本初等函数的性质及其图形，能建立简单应用问题中的函数关系，会表示函数． （3）了解初等函数、隐函数、反函数的概念，了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 二、极限与连续 （1）理解数列和函数极限的概念、性质及极限存在的两个准则，理解无穷小量的概念和基本性质, 理解无穷大量的概念及与无穷小量的关系，掌握无穷小量的比较方法，掌握极限四则运算法则，会 判断间断点的类型，会应用两个重要极限． （2）理解函数连续性的概念，了解初等函数的连续性及连续函数和闭区间上连续函数的性质及简 单应用． 三、导数与微分 （1）理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系． （2）掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数、反函数、隐函数和参数 方程的求导法则，掌握对数求导法，会求平面曲线的切线与法线方程，会求简单函数的二阶导数， 会求函数的微分． （3）了解高阶导数、微分、导数与微分的关系、一阶微分形式的不变性、导数的几何意义及经 济意义． 四、中值定理与导数的应用 （1）理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理，掌握这三个定理的简单应用． （2）掌握用洛必达法则求极限的方法，掌握函数极值、最大和最小值的求法及其应用． （3）会判别函数的单调性、凹凸性，会求函数图形的拐点和渐近线，会描绘简单函数的图形． （4）了解导数在经济学中的简单应用． 五、不定积分 （1）理解原函数与不定积分的概念． （2）掌握不定积分的基本性质与基本积分公式，掌握不定积分的换元积分和分部积分法． 六、定积分及其应用 （1）理解定积分的概念及基本性质，掌握变限积分的概念及性质并会求变限积分的导数,掌握牛顿 －莱布尼茨公式及定积分的换元积分法与分部积分法． （2）了解反常积分的概念，会计算简单的反常积分． 七、微分方程 一阶微分方程的一般形式： ( , , ') 0, ' ( , ). F x y y y f x y Ï = Ì Ó =
总复习高等数学1（上）教案齐次方程y'= f(ax + by + c)变量可分离的微分方程a,x+b,y+c分为三种基本类型：y=(azx+b2y+c2【伯努利方程一阶线性微分方程变量互换转化全微分方程注：在微分方程中不定积分「du【f(x)dx等只表示一个固定的原函数，积分常数总是另外标f(u)-u出，这是与不定积分不同的习惯三种基本类型方程的解法列表如下：方程类型通解的求法（1）可分离变量的微分方程*分离变量法y'= f(x)g(y)分离变量_dydy=f(x)dx，积分[[f(x)dxg(y)g(y*，常数变易法a.分离变量得齐次方程的通解y=Ce-Jpa)a（2）一阶线性微分方程-Jp(x)dr为非齐次方程的通解b.将C改为C(x),令y=C(x)e一阶非齐次线性微分方程-J p(n)d = q(x)y'+p(x)y=q(x)相应的齐次c.通解代入原非齐次微分方程，得C'(x)e方程微分方程：d.两端积分,求出c(x)J'+p(x)y= 0注意：区分p(x),q(x)，未知函数y从高阶到低阶排列*，积分因子法Aa.方程两端同乘积分因子[p(x)dxJp(x)dyl'= q(x)eb.原方程改写成PJp(rdx[q(x)e pc)a dx + Cc.两端积分得V=通过简单变量代换化为三种基本类型的方程的解法列表方程类型通解的求法变量代换.dudy_"a.令u=,则=u+x（1）齐次方程dxdx4J'= f()y.duu=b．原方程化为=f(u)-uxdx特征：无常数项，各项次数相durdxc.两端积分= In |x| + C同f(u)-u计算机与数学基础教学部杨淑辉-129-
高等数学 1（上）教案 总复习 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 129 - 分为三种基本类型： Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ó Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ì Ï Ó Ì Ï Ô Ô Ô Ó Ô Ô Ô Ì Ï ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + + + + = = + + 全微分方程 变量互换转化 伯努利方程 一阶线性微分方程 齐次方程 变量可分离的微分方程 2 2 2 1 1 1 ' ' ( ) a x b y c a x b y c y y f ax by c 注：在微分方程中不定积分Ú f u - u du ( ) , f x dx Ú ( ) 等只表示一个固定的原函数,积分常数总是另外标 出,这是与不定积分不同的习惯.三种基本类型方程的解法列表如下： 方程类型 通解的求法 （1）可分离变量的微分方程 y'= f ( x ) g ( y ) *分离变量法 分离变量 f x dx g y dy ( ) ( ) = ,积分 f x dx g y dy Ú Ú = ( ) ( ) *1常数变易法 a．分离变量得齐次方程的通解 Ú = - p x dx y Ce ( ) b．将C改为 C(x ) ,令 Ú = - p x dx y C x e ( ) ( ) 为非齐次方程的通解 c．通解代入原非齐次微分方程,得 ' ( ) ( ) ( ) C x e q x p x dx = Ú - d．两端积分,求出C ( x ) （2）一阶线性微分方程 一阶非齐次线性微分方程： y'+ p (x ) y = q (x ) 相应的齐次 方程微分方程： y '+ p (x ) y = 0 注意：区分 p (x ),q (x ) , 未知函数 y 从高阶到低阶排列 * 2 积分因子法 a．方程两端同乘积分因子 Ú = p x dx e ( ) m b．原方程改写成 Ú = Ú p x dx p x dx e y q x e ( ) ( ) [ ]' ( ) c．两端积分得 e y q x e dx C p x dx p x dx + Ú = Ú Ú ( ) ( ) ( ) 通过简单变量代换化为三种基本类型的方程的解法列表： 方程类型 通解的求法 变量代换 （1） 齐次方程 ' ( ) x y y = f 特征：无常数项,各项次数相 同 a． 令 x y u = ,则 dx du u x dx dy = + b． 原方程化为 f u u dx du x = ( ) - c． 两端积分 x C x dx f u u du = = + - Ú Ú ln ( ) x y u =
高等数学1（上）教案总复习(l-n)yd_da，令z=yl-n，则（4）伯努利方程z = jl-ndxdxy'+p(x)y= q(x)ynb.原方程化为一阶线性方程(n±0,1)+(1-n)p(x)=(1-n)g(x)dxdy1= p(y)x+ q(y)a(5)自变量与因变量dydxp(y)x+q(y)互换b.解以y为自变量，x为因变量的一阶线性方程(1)二阶线性非齐次微分方程：y"+p(x)y'+q(x)y= f(x)(2)相应的二阶线性齐次方程：y"+p(x)y'+q(x)y = 0解的性质与结构：1.若y,(x),y2(x)为齐次方程（2）的两个特解,则Cy(x)+Czyz(x)为（2）式的一个解特别地,当()+元（常数）时，（2）式的通解为Cy(x)+C,yz(x)y2(x)2.若y(x),yz(x)为非齐次方程（1）的两个特解,则y(x)-y,(x)是相应齐次方程（2）的特解3.若y（x）为非齐次方程（1）的一个特解，J(x)为相应齐次方程（2）的任意特解，则y(x)+(x）为（1）式的一个解4. 当y(1),J(g)为齐次方程(2)的两个特解,且()2+时，（1）式的通解为（1）式的y2(x)特解加上（2）式的通解：y(x)= y*(x)+Cy,(x)+C,y2(x)5.（叠加原理）若y(x),y(x)分别是非齐次方程y"+p(x)y'+q(x)y = f(x)y"+p(x)y'+q(x)y= fz(x)的两个特解,则y(x)+yz(x)是方程y"+p(x)y+q(x)y = fi(x)+ f(x)的特解.二阶常系数齐次线性微分方程及其解法二阶常系数齐次线性微分方程形为y"+py'+qy=0，其中p,q为常数求解步骤：a.写出特征方程r2+pr+q=0.b.求出特征方程的两个根r,r2c.依据判别式的符号，按下表写出通解形式y"+py'+qy=0的通解,的情形△=p2-4q>0特征方程有两个相异的实根ri,"2y(x)=Cje"* +C,e"△=p2-4q=0y(x) =(C, +C,x)e"r特征方程有重根,即r,=r2计算机与数学基础教学部杨淑辉- 130
高等数学 1（上）教案 总复习 - 130 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 （4）伯努利方程 n y'+ p (x ) y = q (x )y （ n ¹ 0,1 ） a．令 n z y - = 1 ,则 dx dz dx dy n y n - = - (1 ) b．原方程化为一阶线性方程 (1 n) p(x )z (1 n)q(x ) dx dz + - = - n z y - = 1 （5） ( ) ( ) 1 dx p y x q y dy + = a． p( y ) x q( y ) dy dx = + b．解以 y 为自变量, x 为因变量的一阶线性方程 自变量与因变量 互换 二阶线性非齐次微分方程： y' ' + p (x ) y ' +q (x )y = f (x ) （1） 相应的二阶线性齐次方程： y ' ' + p (x ) y ' +q (x )y = 0 （2） 解的性质与结构： 1．若 ( ) 1 y x , ( ) 2 y x 为齐次方程（2）的两个特解,则 ( ) ( ) 1 1 2 2 C y x + C y x 为（2）式的一个解. 特别地,当 ¹ l ( ) ( ) 2 1 y x y x （常数）时,（2）式的通解为 ( ) ( ) 1 1 2 2 C y x + C y x . 2．若 ( ) 1 y x , ( ) 2 y x 为非齐次方程（1）的两个特解,则 ( ) ( ) 1 2 y x - y x 是相应齐次方程（2）的特 解. 3．若 y (x ) * 为非齐次方程（1）的一个特解, y (x ) 为相应齐次方程（2）的任意特解,则 y (x ) + y (x ) * 为（1）式的一个解. 4．当 ( ) 1 y x , ( ) 2 y x 为齐次方程（2）的两个特解,且 ¹ l ( ) ( ) 2 1 y x y x 时,（1）式的通解为（1）式的 特解加上（2）式的通解： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 y x = y x + C y x + C y x * . 5．（叠加原理）若 ( ) 1 y x , ( ) 2 y x 分别是非齐次方程 ' ' ( ) ' ( ) ( ) 1 y + p x y +q x y = f x ' ' ( ) ' ( ) ( ) 2 y + p x y +q x y = f x 的两个特解,则 ( ) ( ) 1 2 y x + y x 是方程 ' ' ( ) ' ( ) ( ) ( ) 1 2 y + p x y +q x y = f x + f x 的特解. 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 二阶常系数齐次线性微分方程形为 y '' + py ' +qy = 0 ,其中 p, q 为常数. 求解步骤: a.写出特征方程 0 2 r + pr + q = . b.求出特征方程的两个根 1 2 r ,r . c.依据判别式的符号,按下表写出通解形式. 1 2 r ,r 的情形 y '' + py ' +qy = 0 的通解 4 0 2 D = p - q > 特征方程有两个相异的实根 1 2 r ,r r x r x y x C e C e 1 2 1 2 ( ) = + 4 0 2 D = p - q = 特征方程有重根,即 1 2 r = r r x y x C C x e 2 ( ) ( ) = 1 + 2
高等数学1（上）教案总复习△=p2-4g<0特征方程有共轭复根α±βiy(x)= e (C, cos βx +C, sin βx)2．n阶常系数齐次线性微分方程及其解法n阶常系数齐次线性微分方程形为(")+p(n-I)+p2(n-2)++p,=0，其中p,(i=1,2,,n)为常数.求解步骤：a,写出特征方程r(n)+p,r(a-)+pzr(n-2)+.+p,=0.b.求出特征方程的n个根ri,r.r.c.依据特征根的形式写出通解形式r,rr的情形j(n)+p,y(n-I) +p2y(n-2)+...+p,y=d的通解特征方程有n个相异的实根y(x)=C,e'*+C,e**+...C,e*ri,r.r.特征方程有k重实根ro=r=r =.y(x) =(C, +C,x+..C,x*-")e"特征方程有<重共轭复根α±Biy(x)=e[(C, +C2x+.+Chxk-l)cosBx+(D, + D,x+...+ D,xk-')sin βx)3．二阶常系数非齐次线性微分方程解法f(x)的形式特解y(x)的形式f(x)= P,(x),0不是特征根：y(x)=R.(x)P,(x)为n次多项式0是特征方程的单根：y(x)=xR,(x)0是特征方程的重根：y(x)=xR,(x）f(x)= P,(x)eaα不是特征根：y(x)=R,(x)eα是特征方程的单根：y(x)=xR,(x)earα是特征方程的重根：y(x)=x2R,(x)earα±iβ不是特征根：y(x)=e"[R,(x)cosx+S,(x)sinβx]f(x)=P,(x)easin βx或P.(x)eacosBxα±iβ是特征根：y(x)=xe[R,(x)cosβx+S,(x)sinBx][注]表中的R,(x)与S,(x)为待定的n次多项式以上方法对高阶的情形也适应、极限问题1.下列等式成立的是（1tanx1-cosxsinxA.lim1B.limxsin==1C.lim-1D.limx2x-→0x->0 sin x-→0x→axx(x2.若lim(1+)则f(x)= (=e,)B. cos?xA. sin?xC. tan' xD. cot’ xn+i).3. lim(C1→ntB、e2C、e-2D、e-3eA、3)4. lim(1 +=(n+JB、e3C、e?D、eA、15.当x→0时，(1-cosx)In(1+x2)是比xsinx"高阶无穷小，且xsinx"是比e-1的高阶的无穷计算机与数学基础教学部杨淑辉- 131
高等数学 1（上）教案 总复习 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 131 - 4 0 2 D = p - q < 特征方程有共轭复根a ± b i ( ) ( cos sin ) 1 2 y x e C x C x x b b a = + 2． n 阶常系数齐次线性微分方程及其解法 n 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 形 为 0 ( 2) 2 ( 1) 1 ( ) + + + + = - - y p y p y p y n n n n L , 其 中 p (i 1 ,2 , , n ) i = L 为常数. 求解步骤: a.写出特征方程 0 ( 2) 2 ( 1) 1 ( ) + + + + = - - n n n n r p r p r L p . b.求出特征方程的n 个根 n r r Lr 1 2 , . c.依据特征根的形式写出通解形式. n r r Lr 1 2 , 的情形 0 ( 2) 2 ( 1) 1 ( ) + + + + = - - y p y p y p y n n n n L 的通解 特征方程有n 个相异的实根 n r r Lr 1 2 , r x n r x r x n y x = C e + C e + LC e 1 2 1 2 ( ) 特征方程有k 重实根 k r = r = r = Lr 0 1 2 k r x n y x C C x C x e 0 ( ) ( ) 1 1 2 - = + + L 特征方程有k 重共轭复根 a ± bi ( )sin ] ( ) [( ) cos 1 1 2 1 1 2 D D x D x x y x e C C x C x x k k k k x b b a - - + + + + = + + + L L 3．二阶常系数非齐次线性微分方程解法 f (x ) 的形式 特解 ( ) * y x 的形式 f (x ) P (x ) = n , P (x ) n 为 n 次多项式 0 不是特征根: ( ) ( ) * y x R x = n 0 是特征方程的单根: ( ) ( ) * y x xR x = n 0 是特征方程的重根: ( ) ( ) * 2 y x x R x = n x n f x P x e a ( ) = ( ) a 不是特征根: x n y x R x e a ( ) ( ) * = a 是特征方程的单根: x n y x xR x e a ( ) ( ) * = a 是特征方程的重根: x n y x x R x e a ( ) ( ) * 2 = f x P x e x x n b a ( ) = ( ) sin 或 P x e x x n b a ( ) cos a ± ib 不是特征根: ( ) [ ( ) cos ( )sin ] * y x e R x x S x x n n x b b a = + a ± ib 是特征根: ( ) [ ( ) cos ( )sin ] * y x xe R x x S x x n n x b b a = + [注] 表中的 R (x ) n 与 S (x ) n 为待定的n 次多项式. 以上方法对高阶的情形也适应. 一、极限问题 1.下列等式成立的是（ ） A. sin lim 1 x x Æ• x = B. 0 1 lim sin 1 x x Æ x = C. 1 sin tan lim 0 = Æ x x x D. 2 0 1 cos lim 1 x x Æ x - = 2．若 ( ) ( ) 2 0 lim 1 f x x x e Æ + = ，则 f (x) = （ ） A. 2 sin x B. 2 cos x C. 2 tan x D. 2 cot x 3. = + + Æ• n n n n ) 4 1 lim ( （ ）. A、 3 e B、 2 e C、 -2 e D、 -3 e 4. = + + Æ• n n n ) 1 3 lim (1 （ ）. A、 1 B、 3 e C 、 2 e D、 e 5.当 x Æ 0 时，(1 cos )ln(1 ) 2 - x + x 是比 n x sin x 高阶无穷小，且 n x sin x 是比 1 2 - x e 的高阶的无穷
总复习高等数学1（上）教案小，则正整数n等于（)B.2D.4A.1C.311en+lE"等价，则m=（）.6.ennB.2A.1C.3D.47.设f(x)=2*+3*-2，则当x→0时，有（）A.f(x)与x等价无穷小B.f(x)与x同阶但非等价无穷小C.f(x)是比x高阶的无穷小D.f(x）是比x低阶的无穷小8.当x→0时，(1-cosx)是sin2x的（）A.高阶无穷小B.同阶无穷小，但非等价无穷小C.低阶无穷小：D.等价无穷小9.“当x→0时，f(x)-A是无穷小”是“limf(x)=A”的（）A.充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件x10.设f(x)连续，则limf(t)dt的值为(.x-axA.0B.αD. f(α)C.αf(α)3n2+10n+8x +3x2+2x1111. lim12. lim13. limx2-x-6n→ (2n+ 1)(6n2 -1)2.3n(n+1)Y1.2x’ tan’ x2x+314.15. lim xVx+1-x16.limlim2x+1x→0 (1-cosx)20Intan5xer一e-18. lim(2 +17.lim19.求limx-0* In tan 2xx+11-sin x二、连续性x-2的间断点是（)1.函数f(x)：-x2-4B. x=-2D.无间断点A.x=2C.x=2或x=-211-2ex1则x=0是f(x)的（）2.设f(x)=-arctan-2x1+erD.振荡间断点A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点In(1 + x)).3.函数y=的可去间断点是（x(1 - x)A、x=0B、x=1C、x=0或x=1D、x=0和x=1sinx+t,x<0x4.设f(x)=0,x=0，则x=0是f(x)的（）1,x>0xcos-4A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.振荡间断点计算机与数学基础教学部杨淑辉- 132 -
高等数学 1（上）教案 总复习 - 132 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 小，则正整数n 等于（ ）. A .1 B .2 C .3 D .4 6. n n m n e e ) 1 ( 1 1 1 - + 与 等价，则m =（ ）. A .1 B .2 C .3 D .4 7.设 ( ) 2 3 2 x x f x = + - ，则当 x Æ 0 时，有（ ）. A . f (x ) 与 x 等价无穷小 B . f (x ) 与 x 同阶但非等价无穷小 C . f (x ) 是比 x 高阶的无穷小 D . f (x ) 是比 x 低阶的无穷小 8.当 x Æ 0 时， 2 (1- cos x) 是 2 sin x 的（ ）. A .高阶无穷小 B .同阶无穷小，但非等价无穷小 C .低阶无穷小 D .等价无穷小 9.“当 x Æ 0 时， f (x) - A是无穷小”是“ 0 lim ( ) x x f x A Æ = ”的（ ）. A .充分而非必要条件 B .必要而非充分条件 C .充分必要条件 D .既非充分又非必要 条件 10.设 f (x ) 连续，则 Ú Æ - x x f t dt x x a a a lim ( ) 的值为( ). A .0 B .a C .a f (a) D . f (a) 11． 3 2 3 10 8 lim (2 1)(6 1) n n n Æ• n n + + + - 12． 3 2 2 2 3 2 lim x 6 x x x Æ- x x + + - - 13． 1 1 1 lim 1 2 2 3 ( 1) n Æ• n n È ˘ + + + Í ˙ Î × × + ˚ L 14． 1 2 3 lim 2 1 x x x x + Æ• Ê + ˆ Á ˜ Ë + ¯ 15． ( ) 2 lim 1 x x x x Æ+• + - 16． 2 2 2 0 tan lim (1 cos ) x x x Æ - x 17. x x x ln tan 2 ln tan 5 lim 0 Æ + . 18. ) 1 1 lim (2 1 + + Æ x x 19.求 x e e x x x sin lim 0 - Æ - . 二、连续性 1．函数 2 2 ( ) 4 x f x x - = - 的间断点是（ ） A. x = 2 B. x = -2 C. x = 2 或 x = -2 D. 无间断点 2.设 1 1 1 2 1 ( ) arctan 1 x x e f x x e - = + ，则 x = 0 是 f (x ) 的（ ）. A .可去间断点 B .跳跃间断点 C .无穷间断点 D .振荡间断点 3.函数 (1 ) ln(1 ) x x x y - + = 的可去间断点是（ ）. A、 x = 0 B、 x = 1 C、 x = 0 或 x = 1 D、 x = 0和 x = 1 4.设 sin , 0 ( ) 0, 0 1 cos , 0 x x x x f x x x x x Ï + < Ô Ô = Ì = Ô Ô > Ó ，则 x = 0 是 f (x ) 的（ ）. A .连续点 B .可去间断点 C .跳跃间断点 D .振荡间断点