银川能源学院：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 傅里叶变换

例7.1证明：若F()满足傅里叶变换定理，则当F(t)为 奇函数时，有F()=0B(o)sinwtd 其中 B(o)=名F(r)sind,并由定义傅里叶正弦变换。 证： 因为F()满足傅里叶变换定理条件，故当F(t)为 奇函数时，有 G(@)=F()eiodr=-2iF()sinordt 此为ω的奇函数，但为复值.所以 F()G()cd-G(@)sin@id@

例7.1 证明：若F(t)满足傅里叶变换定理，则当F(t)为 奇函数时，有 其中 ，并由定义傅里叶正弦变换。 0 F t B t ( ) ( )sin d    + =  证: 因为F(t) 满足傅里叶变换定理条件，故当F(t)为 奇函数时,有 i 0 G F F ( ) ( )e d 2i ( )sin d        + + − = = −   此为ω的奇函数,但为复值.所以 0 2 B F ( ) ( )sin d     + =   i 0 1 i ( ) ( )e d ( )sin d 2 t F t G G t       + + − = =    

将G(o)代入得 F(e)(n 令“=o得 F(t)=B(@)sinotd

将 G( )  代入得 0 0 2 F F t ( ) ( )sin d sin d .       + +   =        令 0 ,得 2 F B ( )sin d ( )     + =   0 F t B t ( ) ( )sin d .    + = 

例7.2求函数 0, t<0 F(t)= le, t≥0 的傅里叶变换，并求傅里叶逆变换的积分表达式，其 中>0.这个函数叫做指数衰减函数，是工程中常遇到 的一个函数 解 00 G()=JF(t)e-idt=[e-e-dt -00 0 =e-(B+idt= B-io B+i@B2+02 上式最后一行的表达式就是衰减函数的傅里叶变换

例7.2 求函数 的傅里叶变换，并求傅里叶逆变换的积分表达式，其 中>0.这个函数叫做指数衰减函数，是工程中常遇到 的一个函数. 0, 0; ( ) e , 0 t t F t t −   =    解: i i 0 ( i ) 2 2 0 ( ) ( )e d e e d 1 i e d . i t t t t G F t t t t               − − − −  − + = = − = = = + +    上式最后一行的表达式就是衰减函数的傅里叶变换

傅里叶逆变换 FW=Glok=左是0cmao -00 左了Ag8n B2+o2 8cog48na 元0 B2+02

i i 2 2 2 2 2 2 0 1 1 i ( ) ( )e d e d 2π 2π 1 cos sin d 2π 1 cos sin d . π t t F t G t t t t                          − − −  −  − = = + + = + + = +     傅里叶逆变换