(B)曲面：=fx,y)在点(0,0，∫(0,0)处的法向量为(3,1,1)： 9曲线=/》在点(0.0，/0.0》处的切向量为1,0.3》： y=0 D曲线-任，刀在点(0.0./0.0》处的切响量为3.0.1D. ly=0 x=t 2、曲线{y=-2的所有切线中与平面：+2y+x=4平行的切线() D,是D在第一象限内的部分，则二重积分小(y+OSx0s)k小=(） (A2j∬cosxsnyd: (®2∬t: (C4j∬xtd: (D)0。 4、已知任+达±边为某个函数的全微分，则a=() (x+y)2 (A)-1;(B)0;(C)1;(D)2。 5、若∑a(x-l)”在x=-1收敛，则此级数在x=2处() ()条件收敛：(B)绝对收敛：(C发散：(D)收敛性不能确定。 6、设f(x)= 2-2x<x<1 其中a.=2f)c0 snzodkx,(a=012)则s-多=() (A)1/2 (B)-12: 934：D)-34 7、下列函数组中线性无关的是() (A)x,x+1,x-1: (B0,x,x2,x3: (C)e2,e-2: (D)e2,e2r。 8、已知y”+y=4x的一个特解为x2,对应齐次方程y”+y=0有一个特解为 nx,则原方程的通解为() (A)cx+c2+x2:(B)cx+czx+x2:
(B) 曲面 z = f (x, y) 在点（0，0， f (0，0)）处的法向量为（3，1，1）； (C) 曲线 = = 0 ( , ) y z f x y 在点（0，0， f (0，0)）处的切向量为（1，0，3）； (D) 曲线 = = 0 ( , ) y z f x y 在点（0，0， f (0，0)）处的切向量为（3，0，1）。 ２、曲线 = = − = 3 2 z t y t x t 的所有切线中与平面 z + 2y + x = 4 平行的切线（ ） (A) 只有一条 ； (B) 只有两条 ； (C) 至少有三条 ； (D) 不存在 。 ３、设Ｄ是 xoy 面上以（１，１），（－１，１）和（－１，－１）为顶点的三角形区域， D1 是Ｄ在第一象限内的部分，则二重积分 ( cos cos ) ( ) + = D xy x y dxdy (A) 2 1 cos sin D x ydxdy ； (B) 2 D1 xydxdy ； (C) 4 D1 xydxdy ； (D) 0 。 ４、已知 2 ( ) ( ) x y x ay dx ydy + + + 为某个函数的全微分，则 a = ( ) (A) −1 ； (B) 0 ； (C) 1 ； (D) 2 。 ５、若 = − 1 ( 1) n n n a x 在 x = −1 收敛，则此级数在 x = 2 处（ ） (A) 条件收敛 ； (B) 绝对收敛 ； (C) 发散 ； (D) 收敛性不能确定 。 ６、设 − = 1 2 2 2 , 1 2 , 0 1 ( ) x x x x f x ， = = + − + 0 0 cos , ( , ) 2 ( ) n n a n x x a s x 其中 = 1 0 a 2 f (x)cos n xdx n ，(n = 0,1,2) 则 ) ( ) 2 5 s(− = (A) 1/2 ； (B) –1/2 ； (C) 3/4 ； (D) –3/4 。 ７、下列函数组中线性无关的是（ ） (A) x, x +1, x −1 ； (B) 2 3 0, x, x , x ； (C) 2 2 , x+ x− e e ； (D) x x e e −2 2− , 。 ８、已知 xy + y = 4x 的一个特解为 2 x ，对应齐次方程 xy + y = 0 有一个特解为 ln x ，则原方程的通解为（ ） (A) 2 1 2 c ln x + c + x ； (B) 2 1 2 c ln x + c x + x ；
(C)cx+cze*+x2:(D)cx+cze+x2. 三、求解下列问题（共计15分） 1(1分)计g1-++可 x2+v2 2、(8分)设f具有连续导数，：= 1 四、求解下列问题（共计15分） 1(7分)计算1=广+卫 2、(8分)证明：抛物面：=1+x2+y2上任一点处的切平面与曲面z=x2+y2所围 成的立体的体积为一定值。 五、（13分)验证(2xy2+x+2)+(2x2y-y2+3)是某二元函数(x,)的全微分， 求出x功：并计算1=(2+x+2达+(2r)-少+3 六、（8分)利用Gaus公式计算积分I=J厂rt+2xz2t+3y2dd 其中曲面Σ为抛物面：=4-x2-y2被z=0所截下部分下侧。 七、(9分)设函数f)在0，+∞)上连续，且满足关系式 f0=er+∬f+严，求f0. x+v54r 高等数学（下册）考试试卷（八） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、函数u=Mx2+y2+:2)在点M(1,2,-2)处的梯度gradul=」 2、由曲线x+2少=12绕y轴旋转一周得到的旋转面在点05,5) 2=0 处的指向外侧的单位向量为 3、设D为x0y面上的域x2+y2≤R,x≥0，y20，则二重积分 R2-x-ydG= 44a在
(C) 2 1 2 c ln x c e x x + + ； (D) 2 1 2 c ln x c e x x + + − 。 三、求解下列问题（共计１５分） １、（７分）计算 2 2 2 2 0 0 1 1 lim x y x y y x − + + + → → 。 ２、（８分）设 f 具有连续导数， ( ) 2 2 f x y y z − = ，求 y z x z , 。 四、求解下列问题（共计１５分） １、（７分）计算 + = 2 1 0 2 2 x dy x y x y I dx 。 ２、（８分）证明：抛物面 2 2 z =1+ x + y 上任一点处的切平面与曲面 2 2 z = x + y 所围 成的立体的体积为一定值。 五、（１３分）验证 (2xy x 2)dx (2x y y 3)dy 2 2 2 + + + − + 是某二元函数 u(x, y) 的全微分， 求出 u(x, y) ，并计算 = (0,0) (1,1) I (2xy x 2)dx (2x y y 3)dy 2 2 2 + + + − + 。 六 、（ ８ 分 ） 利 用 Gauss 公式计算积分 I = x dydz + xz dzdx + y zdxdy 3 2 2 2 3 ， 其中曲面 为抛物面 2 2 z = 4 − x − y 被 z = 0 所截下部分下侧。 七、（９分）设函数 f (t) 在 [0,+) 上连续，且满足关系式 + = + + 2 2 2 2 4 4 2 2 ) 2 1 ( ) ( x y t t f t e f x y dxdy ，求 f (t) 。 高等数学（下册）考试试卷（八） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） １、函数 ln( ) 2 2 2 u = x + y + z 在点Ｍ（１，２，－２）处的梯度 gradu |M = ２、由曲线 = + = 0 3 2 12 2 2 z x y 绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点 (0, 3, 2) 处的指向外侧的单位向量为 ３ 、 设 Ｄ 为 xoy 面 上 的 域 , 0, 0 2 2 2 x + y R x y ， 则 二 重 积 分 − − = R x y d D 2 2 2 ４、 = − 1 0 0 0 1 x y sin dz z z dx dy
5、设Σ是平面+5+1位于第一卦限内部分，则 1=2x+子+达 6、设r=VF2+y2+,则dh(gradr)l2a 7、函数f(x)在点x。处具有任意阶导数，则f(x)在x,处的Taylor展开式中的Taylor 系数an= 8、把(4-9x2)展开为x的幂级数，其收敛半径R=_ 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、下列命题正确的是( (A)若：=f(x,)在(xo%)处可微，则(x,y)(x,y)在该点处连续： (B)若：=fx,)在(0%)处可微，则f(x6b(x,)存在 (C)若：=fxy)在(x)处f(x,f(x。)都存在，则f(x,y)在 (x,%)处连缕： (D)若：=fx,)在(o%)处的二阶偏导数都存在，则f(xy以，f(x,)在 (x,)处连续。 2、下列论述正确的是( (A)fx,y)的极值点必是fx,)的驻点： (B)f(x,)的驻点必是f(x,y)的极值点 (C可微函数f(x,y)的极值点必是f(x,y)的驻点： (D)可微函数fx,)的驻点必是f(x,y)的极值点。 3、设1=∬n'xdo,h=x+y炉do,4=∬smx+川do,其中D是由 x=0y=0,x+y=2x+y=1围成，则1，山，山之间的大小顺序为（) ()1<12<13:(B)13<12<1:(C)1<13<2:(D)13<1<12。 4、累次积分∫d0。f(rcos0,.rsn9rh可化为(
５、设 是平面 1 2 3 4 + + = x y z 位于第一卦限内部分，则 I = x + y + z)ds = 3 4 (2 _ ６、设 2 2 2 r = x + y + z ，则 div(gradr) | (1,−2,2) = ７、函数 f (x) 在点 0 x 处具有任意阶导数，则 f (x) 在 0 x 处的 Taylor 展开式中的 Taylor 系数 an = ８、把 ln( 4 9 ) 2 − x 展开为 x 的幂级数，其收敛半径Ｒ＝ 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） １、下列命题正确的是（ ） (A) 若 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处可微，则 f (x, y), f (x, y) x y 在该点处连续； (B) 若 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处可微，则 ( , ), ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y x y 存在； (C) 若 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处 ( , ), ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y x y 都存在，则 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处连续； （D）若 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处的二阶偏导数都存在，则 f (x, y), f (x, y) x y 在 ( , ) 0 0 x y 处连续。 ２、下列论述正确的是（ ） (A) f (x, y) 的极值点必是 f (x, y) 的驻点； (B) f (x, y) 的驻点必是 f (x, y) 的极值点； (C) 可微函数 f (x, y) 的极值点必是 f (x, y) 的驻点； (D) 可微函数 f (x, y) 的驻点必是 f (x, y) 的极值点。 ３、设 = = + = + D D D I x y d I x y d I x y d 3 3 3 2 3 1 ln ( , ) , ( ) , [sin( )] ，其中 D 是由 , 1 2 1 x = 0, y = 0, x + y = x + y = 围成，则 1 2 3 I ,I ,I 之间的大小顺序为（ ） (A) 1 2 3 I I I ；(B) 3 2 1 I I I ； (C) 1 3 2 I I I ；(D) 3 1 2 I I I 。 ４、累次积分 2 0 cos 0 ( cos , sin ) d f r r rdr 可化为（ ）
∫dfa：®d,Ff； (C)∫dfx,yd o,fxb· 5、设Σ：x2+y2+2=a2(e≥0).Σ，为Σ在第一卦限中的部分，则有() a∬xd=4xd: (B,∬=4s (©j∬d=4d：(D)∬xz=4∬xyzd。 6、曲线x=2cosh1,y=2siht,:=21在其上点P处的切线平行于平面y-:=2, 则此点到此平面的距离等于() 万0：99：o2 1若极数豆立6做线。则《） )∑a,b)收数 B)2(a2.+b2)收敛 (©∑-(a,+6,)收敛：D)立a.+6,)收敛。 8、微分方程(5x+3xy2-y3)+(3x2y-3xy2+y2)d=0的通解是() (A)x-y-x=c: ®)+y2+2+2=c: 三、(8分)求解初值问题： [y-7y+12y=x 0-ao 四、求解下列问题（共计19分） 1、(8分)设函数u=，=以v=x,y,)都是可微函数，求函数u沿=（，） 的方向导数。 2、(11分)设x=x(,)y=(4,)是由方程组 -=0所确定的隐函数，求 xu+y=1
(A) 1 − 0 0 2 ( , ) y y dy f x y dx ； (B) 1 − 0 1 0 2 ( , ) y dy f x y dx ； (C) 1 0 1 0 dx f (x, y)dy ； (D) 1 − 0 0 2 ( , ) x x dx f x y dy 。 ５、设 : ( 0). 2 2 2 2 x + y + z = a z 1 为 在第一卦限中的部分，则有（ ） (A) = 1 xds 4 xds ； (B) = 1 yds 4 yds ； (C) = 1 zds 4 zds ； (D) = 1 xyzds 4 xyzds。 ６、曲线 x = 2cosh t, y = 2sinh t,z = 2t 在其上点Ｐ处的切线平行于平面 y − z = 2 ， 则此点到此平面的距离等于（ ） (A) 2 ； (B) 0 ； (C) 2 2 ； (D) 2 。 7、若级数 =1 , n an n=1 n b 都收敛，则（ ） (A) =1 ( ) n anbn 收敛； (B) = + 1 2 2 ( ) n a n b n 收敛 ； (C) = − − + 1 1 ( 1) ( ) n n n n a b 收敛； (D) = + 1 ( ) n an bn 收敛。 8、微分方程 (5 3 ) (3 3 ) 0 4 2 3 2 2 2 x + xy − y dx + x y − xy + y dy = 的通解是（ ） (A) x − x y − xy = c 5 2 2 3 2 3 ； (B) x + x y + xy + y = c 5 2 2 3 3 3 1 2 3 ； (C) x − x y + xy − y = c 5 2 2 3 3 3 1 2 3 ； (D) x + x y − xy + y = c 5 2 2 3 3 3 1 2 3 。 三、（8 分）求解初值问题： = = − + = 12 7 , (0) 144 7 (0) 7 12 y y y y y x 四、求解下列问题（共计 19 分） 1、（8 分）设函数 u = u(x, y,z), v = v(x, y,z) 都是可微函数，求函数 u 沿 ( , , ) x y z l = v v v → 的方向导数。 2、（11 分）设 x = x(u,v), y = y(u,v) 是由方程组 − = + = 0 1 x yv xu y 所确定的隐函数，求
器 五、(10分)在椭圆3x2+2xy+3y2=1的第一象限部分上求一点，使得该点处的切线与坐 标轴所围成的三角形面积最小，并求面积的最小值。 六、(8分)计算积分I=∫(e'siny+y+π)dk+(e'cosy-x),其中L是从点 A(1,0)经下半圆周(x-4)2+y2=9到点B(7,0)的路径。 七、（8分)计第I=rt,其中Σ是球面+少+：=1的下半部分的下侧， 收敛？ 高等数学（下册）考试试卷（九） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、:=(x,y)是由方程an(xy2)+3e”smx)=1所确定的隐含数，则)= 2、若：=f(x,y)在点M(x0,o)处存在一阶、二阶连续偏导数，且f(xo,a)=0, f(x0o)=0,则当_ 时，M(,%)必是 :=fx,y)的极值点 3设DHs2s1,则a= 4、在球面坐标系(0，p,P)中，立体体积元素N 5、设L是以(0,0，.L,0)为顶点的三角形域的边界，则d本= 6、设工为：=0，x2+y2≤R的下侧，则积分「d= 7、当<1时，级数∑的和函数)=一 8、设了+是方程y+P(x)y+Q(x)y=f()的通解，片是y+P(x)y+Q(x)y =(x)的一个特解，则方程y'+Pxy+Q(x)y=f(x)+(x)的通解为 二、选择题（每小题2分，共计16分）
v y u x , . 五、（10 分）在椭圆 3 2 3 1 2 2 x + xy+ y = 的第一象限部分上求一点，使得该点处的切线与坐 标轴所围成的三角形面积最小，并求面积的最小值。 六、（8 分）计算积分 = + + + − L x x I (e sin y y )dx (e cos y x)dy ，其中 L 是从点 A（1，0）经下半圆周 ( 4) 9 2 2 x − + y = 到点 B（7，0）的路径。 七、（8 分）计算 I = x dydz 3 ，其中 是球面 1 2 2 2 x + y + z = 的下半部分的下侧。 八、（7 分）判别级数 = + + + − 1 1 1 1 sin ( 1) n n n n 是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件 收敛？ 高等数学（下册）考试试卷（九） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） 1、 z = z(x, y) 是由方程 tan( ) 3 sin( ) 1 2 xy + e zx = xy 所确定的隐含数，则 y z = 2、若 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 M x y 处存在一阶、二阶连续偏导数，且 ( , ) 0 0 f x y x =0， f y (x0 , y0 ) = 0 ，则当 时， ( , ) 0 0 M x y 必是 z = f (x, y) 的极值点。 3、设 D : x 2, y 1 ，则 = + D d y 2 1 1 4、在球面坐标系 (,, ) 中，立体体积元素 dv = 5、设 L 是以 (0,0),(1,1),(1,0) 为顶点的三角形域的边界，则 = L ds 6、设 为 2 2 2 z = 0, x + y R 的下侧，则积分 dxdy = 7、当 x 1 时，级数 =2 2 n x 的和函数 s(x) = 8、设 * 1 Y + y 是方程 ( ) ( ) ( ) 1 y + P x y +Q x y = f x 的通解， * 2 y 是 y + P(x) y + Q(x) y = ( ) 2 f x 的一个特解，则方程 ( ) ( ) ( ) 1 y + P x y +Q x y = f x + ( ) 2 f x 的通解为 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）