《高等数学》课程教学资源（模拟题）高等数学（A）II模拟题七

化为定积分为 5、曲线积分∫44Pk+Q与积分路径L(AB)无关的充要条件为 6、设为：=Va2-x2-y2,则川x2+y2+z2)达= 7、方程y+3y=e2的通解为_ 8、设级数∑0，收敛，6，发散，则级数∑a.+6)必是 二、选择题（每小题2分，共计16分） 「x2y 1、设fx,y)=x2+y2 (x)≠0,0)，在点(0,0)处， 0, (x,y)=(0,0) 下列结论( )成立。 (A)有极限，且极限不为0： (B)不连续： (c)f0,0)=f(0,0)=0: (D)可微。 2设通数：飞功有=2.且0=1了0叭=则/任功( ) (A)1-xy+y2:(B)1+xy+y2:(C)1-x2y+y2:(D1+x2y+y2。 3、设D:1≤x2+y2≤4，∫在D上连续，则j川f(V2+y2)do在极坐标系中等 于( ) (A)f(r: (B)2π[fr2: (c)2r2frh-∫r2fr)d]:(D)2fr2h-∫fr2)d] 4、设2是由x=0,y=0,:=0及x+2y+2=1所围成，则三重积分 ∬h=( (A)j宁。-xy: (B)J。yt: (c)∫xy=t:

化为定积分为 。 ５、曲线积分  + L( AB) Pdx Qdy 与积分路径 L(AB) 无关的充要条件为 。 ６、设  为 2 2 2 z = a − x − y ，则   (x + y + z )ds = 2 2 2 。 ７、方程 x y y e 2  + 3 = 的通解为 。 ８、设级数   n=1 n a 收敛，   n=1 n b 发散，则级数   = + 1 ( ) n an bn 必是 。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） １、设      =  = + 0, ( , ) (0,0) , ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 2 x y x y x y x y f x y ，在点（０，０）处， 下列结论（ ）成立。 （Ａ）有极限，且极限不为 0； （Ｂ）不连续； （Ｃ） f x (0,0) = f y (0,0) = 0 ； （Ｄ）可微。 ２、设函数 z = f (x, y) 有 2 2 2 =   y f ，且 f (x,0) = 1，f x x  y ( ,0) = ，则 f (x, y) =（ ） （Ａ） 2 1− xy + y ；（Ｂ） 2 1+ xy + y ；（Ｃ） 2 2 1− x y + y ；（Ｄ） 2 2 1+ x y + y 。 ３、设Ｄ： 1 4 2 2  x + y  ， f 在 D 上连续，则  + D f ( x y )d 2 2 在极坐标系中等 于（ ） （Ａ） rf r dr  2 1 2 ( ) ； （Ｂ） rf r dr  2 1 2 2 ( ) ； （Ｃ）   − 1 0 2 2 0 2 2[ r f (r)dr r f (r)dr] ； （Ｄ）   − 1 0 2 2 0 2 2[ rf (r )dr rf (r )dr]。 ４、设  是 由 x = 0, y = 0,z = 0 及 x + 2y + z = 1 所 围 成 ， 则 三 重 积 分   xf(x, y,z)dv = ( ) （Ａ）    − − − x y y dx dz xf x y z dy 1 2 0 2 1 0 1 0 ( , , ) ； （Ｂ）    −x− y dx dy xf x y z dz 1 2 0 1 0 1 0 ( , , ) ； （Ｃ）    − − − x y x dx dy xf x y z dz 1 2 0 2 1 0 1 0 ( , , ) ；

(D)∫d∫dy[xf(x.y,)t 5、设是由x=0,y=0,:=0,x=1y=1,:=1所围立体表面的外侧，则曲面积分 月xt+比h+冰=() (A)0. (B)1: (C)3: (D)2。 6、以下四结论正确的是( (B)J∬62+y2+2=4πa x2+y2+:2 （C》n月+y+a-r: (D)以上三结论均错误。 7、设g(x)具有一阶连续导数，g(O)=1。并设曲线积分」，g(x)tan xdx-g(x)d 与积分路径无关，则∫台g)nx-g=() 新 (A)23:(B)1/3: (C)l:(D)32。 三、求解下列问题（共计15分） 1、(8分)设u=x,求0业 dx'dy dz 2、(7分)设业=/为.了具有连线号数。求。 四、求解下列问题（共计15分） 1、(8分)计算1=∬+0四do,其中D:x+y≤R. f(x)+f(y) 2、(7分)计算1=∬x+y+z+0h,其中0：2+y2+2≤R. 五、(15分)确定常数1，使得在右半平面x>0上

（Ｄ）    1 0 1 0 1 0 dx dy xf (x, y,z)dz 。 ５、设  是由 x = 0, y = 0,z = 0, x = 1y = 1,z = 1 所围立体表面的外侧，则曲面积分   xdydz + ydzdx + zdxdy = ( ) （Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）3； （Ｄ）2。 ６、以下四结论正确的是（ ） （Ａ）  + +  + + = 2 2 2 2 2 2 2 5 3 4 ( ) x y z a x y z dv  a ； （Ｂ） ( ) 4 ; 2 2 2 4 2 2 2 2 x y z ds a x y z a + + =   + + = （Ｃ）  + + = + + = 2 2 2 2外侧 2 2 2 4 ( ) 4 x y z a x y z dxdy  a ； （Ｄ） 以上三结论均错误。 ７、设 g(x) 具有一阶连续导数， g(0) = 1 。并设曲线积分  − L yg(x)tan xdx g(x)dy 与积分路径无关，则  − = ) 4 , 4 ( (0,0) ( )tan ( ) ( )   yg x xdx g x dy （Ａ）  2 2 ； （Ｂ）  2 2 − ； （Ｃ）  8 2 ； （Ｄ）  8 2 − 。 ８、级数   = − − − 1 1 1 2 ( 1) n n n 的和等于（ ） （Ａ）2/3；（Ｂ）1/3； （Ｃ）1； （Ｄ）3/2。 三、求解下列问题（共计１５分） １、（８分）设 , z y u = x 求 y u x u     , z u   。 ２、（７分）设 ( , ) z y y x u = f ， f 具有连续偏导数，求 du 。 四、求解下列问题（共计１５分） １、（８分）计算  + + = D d f x f y af x bf y I  ( ) ( ) ( ) ( ) ，其中 2 2 2 D : x + y  R 。 ２、（７分）计算   I = (x + y + z +1)dv ，其中 2 2 2 2 : x + y + z  R 。 五、（１５分）确定常数  ，使得在右半平面 x  0 上

∫，2x(x+y2)k-x2(x'+y2)少与积分路径无关，并求其一个原函数(x,y) 七、(7分)求解方程y"-6y'+9y=0。 高等数学（下册)考试试卷（六） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、设fx+y=x2-y2,则fx,y)= 2、设fx,y,)=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6:,则gad1,1）= 3、设1=∫fx,y),交换积分次序后，则_ 4、设Q:0≤x≤a0≤y≤b:0≤：≤c,则三重积分j川xz= 5、设曲面Σ的方程为：=(x,y,(x,y)∈D,则的面积元素为=】 6:设工为号+芳+号=1内属：则限分月动止++h-一 7、设片，y是y广+以x)y+gy=f)的三个不同的解，且-上不是常 2-八3 数，则该方程的通解为y一 8、函数)=4+不关于x的幂级数展开式为 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、设函数了k)满足方程0兰-0及条件2=，2x=r 则f(x,2x)=(） 。 2、二元函数f(x,y)在点(x0)处的两个偏导数f(xo,%),f(xo,)存在是 ∫(x,y)在该点连续的( (A)充分条件非必要条件： (B)必要条件非充分条件： (C)充分必要条件： (D)既非充分条件又非必要条件。 3、由x2+y2=R2及y2+:2=R2所围成的立体的表面积S=()

 + − + L x y x y dx x x y dy   2 ( ) ( ) 4 2 2 4 2 与积分路径无关，并求其一个原函数 u(x, y) 。 六、（８分）将函数 3 (1 ) 1 ( ) x x f x − + = 展开为 x 的幂级数。 七、（７分）求解方程 y  − 6y  + 9y = 0 。 高等数学（下册）考试试卷（六） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） １、设 2 2 ( , ) x y x y f x + y = − ，则 f (x, y) = 。 ２、设 f (x, y,z) x 2y 3z xy 3x 2y 6z 2 2 2 = + + + + − − ，则 gradf (1,1,1) = 。 ３、设   = x x e e I dx f x y dy 2 ( , ) 1 0 ，交换积分次序后，则 I= 。 ４、设  : 0  x  a;0  y  b;0  z  c ，则三重积分   xyzdv = 。 ５、设曲面  的方程为 z = z(x, y),(x, y)  D ，则  的面积元素为 ds = 。 ６、设  为 + 2 2 a x + 2 2 b y 1 2 2 = c z ，内侧，则积分 + + =   xdydz ydzdx zdxdy 。 ７、设 1 2 3 y , y , y 是 y  + p(x) y  + q(x) y = f (x) 的三个不同的解，且 2 3 1 2 y y y y − − 不是常 数，则该方程的通解为 y = 。 ８、函数 2 4 1 x y + = 关于 x 的幂级数展开式为 。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） １、设函数 f (x, y) 满足方程 2 2 2 2 y f x f   =   及条件 f (x,2x) = x ， 2 f (x,2x) x x  = 则 f (x,2x) = ( ) xx (A) 3 4x ； (B) 3 4x − ； (C) 3 5x ； (D) 3 5x − 。 ２、二元函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处的两个偏导数 ( , ) 0 0 f x y x  ， ( , ) 0 0 f x y y  存在是 f (x, y) 在该点连续的（ ） (A) 充分条件非必要条件； (B) 必要条件非充分条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分条件又非必要条件。 ３、由 2 2 2 x + y = R 及 2 2 2 y + z = R 所围成的立体的表面积Ｓ＝（ ）

w4R：周a” o四是 4、设区域D=《x,)川H+s,D,是D在第一象限部分。fx,)在D上连续。 等式∬f(x,y)do-4∬fx,y)dc成立的充分条件是() (A)f(-x.-y)=f(x.y): (B)f(-x,-y)=-f(x,y): (C)f-x,y)=f(-x,-y)=f(xy): (D)f(-x,y)=f(x,-y)=-f(x,)。 5、设L是圆周x2+y2=-2x的正向，则曲线积分，(x3-y)d+(x-y)d心 =() A-2r:B0:©：D2r 6、设Σ为锥面：=√x2+y2被柱面x2+y2=2x所截下的部分，则积分 1=∬(x4-y+y2:2-x2:2+10h=（） (Aπ： (B)-π；(C)2π：(D)-V2π。 7、方程y=x的经过点(0,1)且在此点与直线y=)x+1相切的积分曲线为(） 因y=名+x+1: ®)y=名+Gx+c: =名+1： (D)y=Cx2+C2x。 8、若g 名n(n+) 收敛(a>0),则a的范围为() (A)(0,1);(B)(1,2):(C)(1,+o):(D)(0,+∞)。 三、(10分)设FL,)可微，试证曲面F(-口，！-么=0上任-一点处的切平面都经过 -C2-0 某个定点（其中a,b,c均为常数）. 四、(10分)求f(xy)=(x-1)2+0y-2)2+1在区域D=《x,y)川x2+y2≤20上的最

(A) 16   − − 2 2 0 0 2 2 R R x dy R x R dx ； (B) 8   − − 2 2 0 0 2 2 R R x dy R x R dx ； (C) 4   − − 2 2 0 0 2 2 R R x dy R x R dx ； (D) 4   − − − − 2 2 2 2 0 2 2 R x R x R dy R x R dx 。 ４、设区域Ｄ = (x, y) | x + y 1，D1 是Ｄ在第一象限部分。 f (x, y) 在Ｄ上连续， 等式   = D D f x y d f x y d 1 ( , )  4 ( , )  成立的充分条件是( ) (A) f (−x,−y) = f (x, y) ； (B) f (−x,−y) = − f (x, y) ； (C) f (−x, y) = f (−x,−y) = f (x, y) ； (D) f (−x, y) = f (x,−y) = − f (x, y) 。 ５、设Ｌ是圆周 x y 2x 2 2 + = − 的正向，则曲线积分  − + − L (x y)dx (x y )dy 3 3 ＝（ ） (A) − 2 ； (B) 0 ； (C)  2 3 ； (D) 2 。 ６、设  为锥面 2 2 z = x + y 被柱面 x y 2x 2 2 + = 所截下的部分，则积分   I = (x − y + y z − x z +1)ds 4 4 2 2 2 2 ＝（ ） (A)  ； (B) − ； (C) 2 ； (D) − 2 。 ７、方程 y  = x 的经过点（０，１）且在此点与直线 1 2 1 y = x + 相切的积分曲线为（ ） (A) 1 6 1 3 y = x + x + ； (B) 1 2 3 6 1 y = x + c x + c ； (C) 1 2 1 6 1 3 y = x + x + ； (D) y c x c x2 2 = 1 + 。 ８、若   =1 ln( +1) n n n a 收敛 (a  0) ，则 a 的范围为（ ） (A) (0 ,1) ； (B) ( 1, 2) ； (C) (1,+) ； (D) (0,+) 。 三、（１０分）设 F(u,v) 可微，试证曲面 ( , ) = 0 − − − − z c y b z c x a F 上任一点处的切平面都经过 某个定点（其中 a,b, c 均为常数）。 四、（１０分）求 ( , ) ( 1) ( 2) 1 2 2 f x y = x − + y − + 在区域 ( , ) | 20 2 2 D = x y x + y  上的最

大值和最小值。 五、(8分)计算1=小smd0,其中D是由曲线y=G,直线y=x和)=2围成。 21 (x2+y2+z2)2 七、(10分)将/)=厂arctan展开为x的幂级数。 八、(10分)求解方程x+2hy-nx)=0。 高等数学（下册）考试试卷（七） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、u=n(x2+y2+z2)在ML-L,2)处的梯度为gradu= 0-z .y2 5、设f(x)是周期T=2的函数，它在（一1,1）上定义为 径.-则的F级数在1处收效于 6、设幂级数立a的收敛半径为3，则幂级数∑m,(c-)的收敛区间为 7、方程y+ytanx=cosx的通解为 8、方程y”-4y=0的通解为_ 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、设函数f(x,)在点(0,0)附近有定义，且(0,0)=3，f(0,0)=1,则 ( )成立。 (A)doo=3d达+y:

大值和最小值。 五、（８分）计算  = D d y x I   2 sin ，其中Ｄ是由曲线 y = x ，直线 y = x 和 y = 2 围成。 六、（１２分）计算   + + + + = 2 3 2 2 2 (x y z ) xdydz ydzdx zdxdy I ，其中  是 + 2 2 a x + 2 2 b y 1 2 2 = c z 的外侧。 七、（１０分）将  = x dx x x f x 0 arctan ( ) 展开为 x 的幂级数。 八、（１０分）求解方程 xdy + 2y(ln y − ln x)dx = 0。 高等数学（下册）考试试卷（七） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） １、 ln( ) 2 2 2 u = x + y + z 在 M (1,−1,2) 处的梯度为 gradu M = 。 ２、设 f xy y x y f、 x z ( ) ( ), 1 = + + 具有二阶连续导数，则 =    x y z 2 。 ３、设 D: , 2 2 2 x + y  R 则  + = D d b y a x ( )  2 2 2 2 。 ４、设Ｌ： 1 4 3 2 2 + = x y ,其周长为 a，则曲线积分 + + =  xy x y ds L (2 3 4 ) 2 2 。 ５、设 f (x) 是周期Ｔ＝２的函数，它在(－１，１)上定义为      −   = , 0 1 2, 1 0 ( ) 3 x x x f x ，则 f (x) 的 Fourier 级数在 x＝１处收敛于 。 ６、设幂级数   n=0 n n a x 的收敛半径为３，则幂级数   = + − 1 1 ( 1) n n n na x 的收敛区间为 。 ７、方程 y  + y tan x = cos x 的通解为 。 ８、方程 y  − 4y = 0 的通解为 。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） １、设函数 f (x, y) 在点（０，０）附近有定义，且 f x (0,0) = 3， f y (0,0) = 1 ，则 （ ）成立。 (A) dz = 3dx + dy (0,0) ；