。二阶偏导数及二阶以上阶偏导数统称为高阶偏导数 022022 *例2.6设z=ln√2+y2，证经： =0 第一节多元函效的基 0m2+0y 第二节编导数 第三节全微分 证经： 第四节多元复合函数 第五节多元微分学的 8z x 02z g2-22 第六节例题详解 8x 2x2+2y2, 0.x2 (x2+y2)2 李铮救案 同理 标题页 8z y ∂2z x2-2y2 ∂y 2+22’∂ 2-(x2+y2)2 02z 02z 第对页3 所以 =0 0y2 返回 全屏显示 证毕。 关闭 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 21 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ✓✣➔✓ê✾✓✣➧þ✣➔✓êÚ→➃♣✣➔✓ê ? ⑦2.6 ✗ z = lnp x 2 + y 2 ➜②➨➭ ∂ 2 z ∂x2 + ∂ 2 z ∂y2 = 0 ②➨➭ ∂z ∂x = x x 2 + y 2 , ∂ 2 z ∂x2 = y 2 − x 2 (x 2 + y 2 ) 2 Ó♥ ∂z ∂y = y x 2 + y 2 , ∂ 2 z ∂y2 = x 2 − y 2 (x 2 + y 2 ) 2 ↕➧ ∂ 2 z ∂x2 + ∂ 2 z ∂y2 = 0 ②✳✧
。例2.7 8u ∂2u Bu 设u=√x2+y2+z2，证明： 2- 0x2 dy2 0z2 (6.2.7) 第一节多元函数的基， 第二节编导数 第三节全微分 第四节多元望合雨数 。Laplace算子 第五节多元微分学的 第六节例题详解 02 02 02 定义算子：△= 0x2 是一个运算符号， 0y2 0z2 李铮教案 u.∂u, 02u 标题页 △w表示△u= 0x2+0y2 T022' △称为Laplace算子。 第22页03 *例2.8 返回 1 全屏显示 证明函数u= 满足Laplace方程： Vx2+y2+22 关闭 △u=0 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 22 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ⑦2.7 ✗ u = p x 2 + y 2 + z 2 ➜②➨➭ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + ∂ 2u ∂z2 = 2 u (6.2.7) • Laplace ➂❢ ➼➶➂❢➭ ∆ = ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 ➫➌❻✩➂❰Ò➜ ∆u ▲➠ ∆u = ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + ∂ 2u ∂z2 , ∆ →➃ Laplace ➂❢✧ ? ⑦2.8 ②➨➻ê u = 1 p x 2 + y 2 + z 2 ÷✈ Laplace ➄➜➭ ∆u = 0
3第三节 全微分 ·3.1全微分的定义 第一节多元函效的基 第二节编导数 第三节全微分 第四节多元复合函数 如果函数z=f(c,y)在点(0,0)的全增量 第五节多元微分学的. 第六节例愿详解 △z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)可表示为： △z=A△x+B△y+o(p), 李铮致案 其中A,B与△x,△y无关，p=V(△x2+(△y2, 标题页 那么称函数之=f(x,)在点(0,0)处可微分， 把A△x+B△y称为函数z=f(x,)在点(xo,0)处 第23页03 的全微分，记作d2(o,o), 返回 即d2lo.o)=A△x+B△y。 全屏显示 关闭 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 23 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 3 ✶♥✦ ✜❻➞ • 3.1 ✜❻➞✛➼➶ ❳❏➻ê z = f(x, y) ✸✿ (x0, y0) ✛✜❖þ ∆z = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0) ➀▲➠➃➭ ∆z = A∆x + B∆y + o(ρ) ➜ Ù➙ A, B ❺ ∆x, ∆y ➹✬➜ ρ = p (∆x) 2 + (∆y) 2 ➜ ❅♦→➻ê z = f(x, y) ✸✿ (x0, y0) ❄➀❻➞➜ r A∆x + B∆y →➃➻ê z = f(x, y) ✸✿ (x0, y0) ❄ ✛✜❻➞➜P❾ dz|(x0,y0) ➜ ❂ dz|(x0,y0) = A∆x + B∆y✧
。3.2全微分与连续和偏导数的关系 大定理3.1 第一节多元函数的基… 如果函数z=f(x,y)在点(0,0)处可微分，则函数 第二节偏导数 第三节全微分 之=f(x,)在点(0,0)处连续，两个偏导数都存 第四节多元望合雨数 第五节多元微分学的 第六节创题详解 在，且f(x0,0=A,f(x0,0)=B, 并且函数z=f(c,)在点(r0,0)处的全微分为： 李铮教案 dzlo,o)=f(ao,0)△x+f(x0,o)△y 标题页 8z 或dzl(o,w)= r)d (o)dy 第24页03 由全微分定义 返回 △z=A△x+B△y+o(p) 全屏显示 关闭 容易证明得到定理3.1。 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 24 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • 3.2 ✜❻➞❺ë❨Ú➔✓ê✛✬❳ ? ➼♥3.1 ❳❏➻ê z = f(x, y) ✸✿ (x0, y0) ❄➀❻➞➜❑➻ê z = f(x, y) ✸✿ (x0, y0) ❄ë❨➜ü❻➔✓êÑ⑧ ✸➜❹ f 0 x (x0, y0) = A , f0 y (x0, y0) = B , ➾❹➻ê z = f(x, y) ✸✿ (x0, y0) ❄✛✜❻➞➃➭ dz|(x0,y0) = f 0 x (x0, y0)∆x + f 0 y (x0, y0)∆y ➼ dz|(x0,y0) = ∂z ∂x|(x0,y0)dx + ∂z ∂y|(x0,y0)dy ❞✜❻➞➼➶ ∆z = A∆x + B∆y + o(ρ) ◆➫②➨✚✔➼♥3.1✧
上天大平 。例3.1 第一节多元雨数的基 证明函数f(x,)=V√x在点(0,0)任连续，偏导 第二节偏导数 第三节全微分 数f(0,0),f0,0)存在，但在点(0,0)任不可微。 第四节多元复合雨数 第五节多元微分学的 第六节例题详解 证明： 由于√x则≤1 x2+y E, 李铮敢案 2 取p=√2e即可证明函数在(0,0)任连续； 标题页 又f(0,0)=0,f0,0)=0存在； 而 V△x·△y 第25页103 当p→0时不趋于零， p V(△x)2+(△y)2 返回 全屏显示 故函数不可微。 关闭 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 25 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ⑦3.1 ②➨➻ê f(x, y) = p |xy| ✸✿ (0, 0) ❄ë❨➜➔✓ ê f 0 x (0, 0) , f0 y (0, 0) ⑧✸➜✂✸✿ (0, 0) ❄Ø➀❻✧ ②➨➭ ❞✉ p |xy| ≤ r x 2 + y 2 2 < ε ➜ ✒ ρ = √ 2ε ❂➀②➨➻ê✸ (0, 0) ❄ë❨➯ q f 0 x (0, 0) = 0 , f0 y (0, 0) = 0 ⑧✸➯ ✌ ∆z ρ = p |∆x · ∆y| p (∆x) 2 + (∆y) 2 ✟ ρ → 0 ➒Ø➟✉✧➜ ✙➻êØ➀❻✧