Chap 1.3 无穷小与无穷大
Chap 1.3 无穷小与无穷大
1.3.1概念 无穷小量 若limf(x)=0,则称x→a时f(x)为无穷小（量） x->a >等价性 Iimf(x)=A台f(x)-A或f(x)-A为无穷小 x->a 口无穷大量 若1im1=0,则称x→a时f)为无穷大（量） x→af(x) >无穷大有时有+0和-0的情况，注意差别
无穷小量 1.3.1 概念 lim ( ) 0 , x a f x → 若 = 则称 x→a 时f (x)为无穷小(量) ¾ 等价性 lim ( ) ( ) ( ) x a f x A fx A fx A → = ⇔− − 或 为无穷小 无穷大量 1 lim 0 , ( ) x a → f x 若 = 则称 x→a 时f (x)为无穷大(量) ¾ 无穷大有时有＋∞ 和－∞ 的情况，注意差别
1 1 例lim -=00， lim- 一=+00 x→Tx-1 xx- lim a*=+oo 指数)+∞与)+∞ X>+00 时，函数极限不同 lim tanx=+oo ,若xa时，f)为无穷小，那么f(x) 是无穷大吗？ >无穷小之和为无穷小，无穷小与有界量的积为无穷小 1 例limxsin=0 x→0 X
)( 1 xf ¾ 若 x→a 时, f (x)为无穷小,那么 是无穷大吗？ 1 1 lim , x→ x 1 = ∞ − 例 1 1 lim x→ x 1 = ∞ − ＋ ＋ ¾ 无穷小之和为无穷小，无穷小与有界量的积为无穷小 0 1 lim sin 0 x x → x 例 = lim x x a →+∞ = +∞ 2 lim tan x x π − → = +∞ 指数→＋∞与→＋∞ 时，函数极限不同
1.3.2无穷小的比较 比较 若l1imax(x)=0,limB(x)=0,且lim B(x=1, x->a x→a0(x) 当1=0时，称x→a时B(x)是比ax(x)高阶的无穷小 记为 B(x)=o(a(x),x→a 当I≠0时，称x→a时B(x)是与x(x)同阶的无穷小 特别1=1时，称x→a时B(x)是x(x)等价的无穷小 记为 B(x)~(x),x→a
1.3.2 无穷小的比较 ( ) lim ( ) 0, lim ( ) 0, lim ( ) x a x a x a x xx l x β α β →→ → α 若 且 = = = ， 当l = 0时，称 x → a 时 β (x )是比 α (x )高阶的无穷小 记为 β ( ) ( ( )), x = ox xa α → 当l ≠ 0时，称 x → a 时 β (x )是与 α (x )同阶的无穷小 特别l = 1 时, 称 x → a 时 β (x ) 是 α (x )等价的无穷小 记为 β α ),(~)( → axxx 比较
例比较下列无穷小 )当x→+0时，云与/ 2)当x>0时，Sinx与x,1-c0sx与x2 例当x→1时，k(1-x2)与1-VX为等价无穷小，求k 口无穷小的阶 若lima(x)=limB(x)=0,且有k>0和C≠0， >0 B(x)~Ca(x),(x→a) 则称当x→a时，B(x)是α(x)的k阶无穷小
例 比较下列无穷小 1) 当x → + ∞ 时， 3 11 x x 与 2) 当x → 0 时， 2 与 − cos1,sin 与xxxx 则称当 x → a时， β (x) 是 α (x ) 的 k 阶无穷小 无穷小的阶 lim ( ) lim ( ) 0, 0 0 xa xa α β x x kC → → 若 且 = = >≠ 有 和 ， axxCx )(,)(~)( αβ k → 2 例 当 x → 1时，kx x (1 ) 1 − 与－ 为等价无穷小，求 k