·定理3.2 上降元大 若函数之=f(x,)的两个偏导数f(x,),f(x,)在 点(x0,0)i 连续，则函数在该点可微。 第一节多元雨数的基。 第二节偏导数 证明见(6.3.01) 第三节全微分 第四节多元复合雨数 第五节多元微分学的 第六节例题详解 *例3.2设函数z=arctan n,求dz,dzl,) 8 ∂z 解： y 李铮救案 ar=1+(=x2+0-x2+ 标题页 所以d&=-gdr+xdy 1 x2+y2 ，,dzla)=-2(dr-d 第28页13 *例3.3设函数u=x,求du。 返回 解-，=(= 全屏显示 y 关闭 故du=uzdx+u,dy+uzdz 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 26 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ➼♥3.2 ❡➻ê z = f(x, y) ✛ü❻➔✓ê f 0 x (x, y) , f0 y (x, y) ✸ ✿ (x0, y0) ë❨➜❑➻ê✸❚✿➀❻✧ ②➨❸ (6.3.01) ? ⑦3.2 ✗➻ê z = arctan y x ➜➛ dz , dz|(1,1) ✧ ✮➭ ∂z ∂x = − y x 2 1 + (y x ) 2 = − y x 2 + y 2 , ∂z ∂y = x x 2 + y 2 ↕➧ dz = −ydx + xdy x 2 + y 2 , dz|(1,1) = − 1 2 (dx − dy) ? ⑦3.3 ✗➻ê u = x z y ➜➛ du ✧ ✮➭ ux = z y ·x z y−1 , uy = x z y ·lnx·(− z y 2 ), uz = x z y ·lnx·( 1 y ) ✙ du = uxdx + uydy + uzdz
。连续、偏导数、全微分的关系 函数连续 偏导数连续→全微分存在→ 偏导数存在 第一节多元函数的基 ·3.3全微分的应用 第二节端导数 第三节全微分 第四节多元复合函数 当△x→0，△y一0时，有下面近似计算 第五节多元微分学的. 第六节例详解 △z≈f(o,o)dr+f(x0,yo)dy 或 李铮教案 f(x,y)≈f(x0,0)+f(x0,yo)(x-x0)+f(x0,y0)(y-o) 标题页 *例3.4求(1.04)1.98。 第27页103 解：设函数z=f(c,)=x则，要计算f(1.04,1.98), 返回 取x0=1,dx=△x=0.04;y0=2,dy=△y=-0.02 全屏显示 f2(1,2)=y·xy-1l1,2)=2,f1,2)=xnxl1,2)=0 关闭 所以(1.04)1.98≈f(1,2)+2.0.04+0.(-0.02)=1.08 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 27 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ë❨✦➔✓ê✦✜❻➞✛✬❳ ➔✓êë❨ ⇒ ✜❻➞⑧✸ ⇒ ( ➻êë❨ ➔✓ê⑧✸ • 3.3 ✜❻➞✛❆❫ ✟ ∆x → 0 , ∆y → 0 ➒➜❦❡→❈q❖➂ ∆z ≈ f 0 x (x0, y0)dx + f 0 y (x0, y0)dy ➼ f(x, y) ≈ f(x0, y0)+f 0 x (x0, y0)(x−x0)+f 0 y (x0, y0)(y−y0) ? ⑦3.4 ➛ (1.04)1.98 ✧ ✮➭✗➻ê z = f(x, y) = x y ➜❻❖➂ f(1.04, 1.98) ➜ ✒ x0 = 1 , dx = ∆x = 0.04 ; y0 = 2 , dy = ∆y = −0.02 f 0 x (1, 2) = y · x y−1 |(1,2) = 2 , f0 y (1, 2) = x y lnx|(1,2) = 0 ↕➧ (1.04)1.98 ≈ f(1, 2) + 2 · 0.04 + 0 · (−0.02) = 1.08
第节多元复合函数及隐函数的偏导数 。4.1多元复合函数的偏导数 第一节多元效的基 第二节编导数 第三节全微分 。情况1：两个中间变量两个自变量 第四节多元望合雨数 第五节多元微分学的 第六节例题详解 *定理4.1设函数u=p(c,y),v=(x,)在点(c,)处 有一阶偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处可 李修教案 微，则复合函数之=fp(c,),(c,y】在点(c,处 标题页 偏导数存在，且有： 炒 02_∂2au,0z0n ∂zaz∂u,∂zam ∂∂u'am∂n∂m'∂y=∂u`dm∂m'dm 第28页03 证明见(6.4.01) 返回 全屏显示 上式称为多元函数偏导数的链式法则。 关闭 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 28 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 4 ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê✾Û➻ê✛➔✓ê • 4.1 õ✄❊Ü➻ê✛➔✓ê • ➐➵1➭ü❻➙♠❈þü❻❣❈þ ? ➼♥4.1 ✗➻ê u = ϕ(x, y) , v = ψ(x, y) ✸✿ (x, y) ❄ ❦➌✣➔✓ê➜➻ê z = f(u, v) ✸é❆✿ (u, v) ❄➀ ❻➜❑❊Ü➻ê z = f[ϕ(x, y), ψ(x, y)] ✸✿ (x, y) ❄ ➔✓ê⑧✸➜❹❦➭ ∂z ∂x = ∂z ∂u · ∂u ∂x + ∂z ∂v · ∂v ∂x , ∂z ∂y = ∂z ∂u · ∂u ∂y + ∂z ∂v · ∂v ∂y ②➨❸ (6.4.01) þ➟→➃õ✄➻ê➔✓ê✛ó➟④❑✧
。例4.1 设之=e”cosv,而u=x2y,v=xy3,求名，2 解： 第一节多元函效的基 =n·g+2=e.cosv.2xy-e“sinv·y3 第二节编导数 第三节全微分 =·,+·=e.cosv·z2-e"sinw.3xy2 第四节多元复合函数. 第五节多元微分学的. 第六节侧题详解 *例4.2设z=(2+2c-，求0,0 ax'∂y 李铮救案 解法1：之=e3x-4wm(+y)直接计算（略） 标题页 解法2：设u=x2+y2,v=3x-4y;z=u ∂z 第29页103 Ox =vu-1.2x+.lnu:3 返回 全屏显示 8z =v·u"-1.2y+w”.lnu·(-4) 关闭 ay 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 29 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ⑦4.1 ✗ z = e u cosv ➜✌ u = x 2 y , v = xy3 ➜➛ z 0 x , z0 y ✮➭ z 0 x = z 0 u · u 0 x + z 0 v · v 0 x = e u · cosv · 2xy − e u sinv · y 3 z 0 y = z 0 u · u 0 y + z 0 v · v 0 y = e u · cosv · x 2 − e u sinv · 3xy2 ? ⑦4.2 ✗ z = (x 2 + y 2 ) 3x−4y ➜➛ ∂z ∂x , ∂z ∂y ✧ ✮④1➭ z = e (3x−4y)ln(x 2+y 2 ) ❺✚❖➂(Ñ) ✮④2➭✗ u = x 2 + y 2 , v = 3x − 4y ; z = u v ∂z ∂x = v · u v−1 · 2x + u v · lnu · 3 ∂z ∂y = v · u v−1 · 2y + u v · lnu · (−4)
上腾元大子 第一节多元雨数的基 第二节偏导数 第三节全微分 ·例4.3设之=f(x2-y2,e)，其中f有连续偏导数， 第四节多元复合雨数. z02 第五节多元微分学的 求 第六节例题详解 z'∂m 解法1：设u=x2-y2,v=ey 0_0f.2x+009 ,"02_0f.(-2+ 李销救案 ofayou ∂f.ew. 标题页 Ox Ou 4 解法2： 8-2+流=- 第0页103 返回 全屏显示 关闭 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 30 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ⑦4.3 ✗ z = f(x 2 − y 2 , exy) ➜Ù➙ f ❦ë❨➔✓ê➜ ➛ ∂z ∂x , ∂z ∂y ✧ ✮④1➭✗ u = x 2 − y 2 , v = e xy ∂z ∂x = ∂f ∂u · 2x+ ∂f ∂v · e xy · y , ∂z ∂y = ∂f ∂u ·(−2y) + ∂f ∂v · e xy ·x ✮④2➭ ∂z ∂x = f 0 1 ·2x+f 0 2 ·e xy ·y , ∂z ∂y = f 0 1 ·(−2y)+f 0 2 ·e xy ·x