Chap 5-5 二阶线性微分方程
二阶线性微分方程 Chap 5 ― 5
5.5.1二阶线性微分方程形式与性质 二阶线性微分方程的标准形式 y"+p(x)y'+q(x)y=f(x) (NHL) p(x、q(x)称为方程的系数，f(x)称为非齐次项 若f(x)≡0，得到 二阶齐次线性微分方程 y"+p(x)y'+q(x)y=0 (HL
二阶线性微分方程的标准形式 ′′ + ′ + = xfyxqyxpy NHL)()()()( 5.5.1 二阶线性微分方程形式与性质 若 f (x) ≡ 0, 得到 二阶齐次线性微分方程 ′′ + ′ + yxqyxpy = 0)()( HL )( p (x ) 、 q (x )称为方程的系数, f (x )称为非齐次项
>线性相关与无关 对函数y(x),2(x),若存在不全为零常数c1,c2,使 C1y1(x)+C2y2(x)=0 则称y(x),y2(x)线性相关，否则称它们线性无关 乃(x),y2(x)线性相关 充分必要条件 )其中一个是另一个的常数倍 >叠加原理 若y(x)、y2(x)是齐次方程(HL)的的解，那么
¾ 线性相关与无关 对函数 ),(),(1 2 xyxy 若存在不全为零常数c1,c2, 使 0)()(11 + 22 xycxyc ≡ )(),(1 2 则称 xyxy 线性相关，否则称它们线性无关 )(),(1 2 xyxy 线性相关 ←⎯ → 充分必要条件⎯⎯⎯ 其中一个是另一个的常数倍 若y1(x)、 y2(x)是齐次方程(HL)的的解，那么 ¾ 叠加原理
y(x)和yx)十y2(x)也是齐次方程(HL)的解 ■齐次方程解的结构定理 若yx)、y2(x)是齐次方程(HL)的两个线性无关 的解（称它们为方程的基本解组），那么通解 c1y1(x)+C2y2(x)( C1,C2任意常数) 给出了方程(HL)的所有解
■ 齐次方程解的结构定理 若y1(x)、 y2(x)是齐次方程(HL)的两个线性无关 的解(称它们为方程的基本解组)，那么通解 c1 y1(x) + c2 y2(x) （c1,c2任意常数） 给出了方程（HL）的所有解. ky1(x) 和 y1(x)＋y2(x)也是齐次方程(HL)的解
求解二阶齐次线性方程归结为： 求出两个线性无关的解（即基本解组）. >若知道一个解，可以求用常数变易法求出 另一个线性无关解 例已知方程x2y”+y-y=0的一个解为x 求方程的通解
求解二阶齐次线性方程归结为： 求出两个线性无关的解(即基本解组). ¾ 若知道一个解，可以求用常数变易法求出 另一个线性无关解 例 已知方程 0 2 ′′ + ′ yyxyx =− 的一个解为 x 求方程的通解