上降元人 。例2.1 设之=x4,求 ∂zaz ∂2 ∂ 0x'∂y'ax (e2)'ay (e,2) 第一节多元雨数的基， 第二节偏导数 第三节全微分 8z ∂z 第四节多元复合雨数 解： 第五节多元微分学的 Ox =y·x-1, 0y =xu.Inx 第六节例题详解 ∂z 8z l(e.2)=2e, 8y 1(e,2)÷e2 李铮救案 标题页 *例2.2 E, f()(-1)arcein 求f(1,1)(6.2.2) 第8页13 大例2.3 返回 设之=e+,证明：r2 全屏显示 (6.2.3) 8x ay =2z 关闭 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 16 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ⑦2.1 ✗ z = x y ➜ ➛ ∂z ∂x , ∂z ∂y , ∂z ∂x|(e,2) , ∂z ∂y|(e,2) ✮➭ ∂z ∂x = y · x y−1 , ∂z ∂y = x y · lnx ∂z ∂x|(e,2) = 2e , ∂z ∂y|(e,2) = e 2 ? ⑦2.2 ✗ f(x, y) = x 3+(y−1)arcsinrx y ➜ ➛ f 0 x (1, 1) (6.2.2) ? ⑦2.3 ✗ z = e −( 1 x+ 1 y ) ➜②➨➭ x 2 ∂z ∂x + y 2 ∂z ∂y = 2z (6.2.3)
。例2.4 第一节多元函效的基 已知PV=RT,R为常数，证明： 第二节编导数 第三节全微分 ∂aT av 第四节多元复合函数 -1 第五节多元微分学的. aT∂VaP 第六节例愿详解 ∂PROT P av RT 证明： at =va亚=r'∂P = P2 李铮教案 ∂PaT av 所以： at av ap -1 标题页 4 ·注意： 第？页3 8z 是一个整体不可分割，0之无意义。 返回 Ox 全屏显示 关闭 退出
✶ ➌ ✦ õ ✄ ➻ ê ✛ ➘. . . ✶✓ ✦ ➔ ✓ ê ✶♥ ✦ ✜ ❻ ➞ ✶ ♦ ✦ õ ✄ ❊Ü➻ ê. . . ✶✃ ✦ õ ✄ ❻ ➞ ➷ ✛. . . ✶✽ ✦ ⑦❑ ➁ ✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 17 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ⑦2.4 ➤⑧ P V = RT ➜ R ➃ ⑦ ê ➜ ② ➨ ➭ ∂P ∂T · ∂T ∂V · ∂V ∂P = − 1 ② ➨ ➭ ∂P ∂T = RV , ∂T ∂V = PR , ∂V ∂P = − RTP2 ↕ ➧ ➭ ∂P ∂T · ∂T ∂V · ∂V ∂P = − 1 • ✺ ➾ ➭ ∂z ∂x ➫ ➌ ❻ ✒ ◆ Ø ➀ ➞ ⑧ ➜∂ z ➹➾➶ ✧
·例2.5设 第一节多元函数的基… xy 第二节编导数 第三节全微分 x2+2 (x,y)≠(0,0) 第四节多元望合雨数 第五节多元微分学的 ,(x,y)=(0,0) 第六节题详解 讨论函数f(x,)在(0,0)点处的是否连续？偏导数是 李铮教案 否存在？(6.2.5) 标题页 ” ·注意： 由例2.5可以看到虽然函数不连续，但偏导数仍然存 第8页03 在，这与一元函数的情况不同。 返回 全屏显示 关闭 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 18 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ⑦2.5 ✗ f(x) = xy x 2 + y 2 , (x, y) 6= (0, 0), 0 , (x, y) = (0, 0) ❄Ø➻êf(x, y) ✸ (0, 0) ✿❄✛➫➘ë❨➸➔✓ê➫ ➘⑧✸➸ (6.2.5) • ✺➾➭ ❞⑦2.5 ➀➧✇✔➃✱➻êØë❨➜✂➔✓ê❊✱⑧ ✸➜ù❺➌✄➻ê✛➐➵ØÓ✧
。二元函数偏导数的几何意义 上元大学 在直角坐标系中，二元函数f(x,),(x,)∈D的图 形一般是一张空间曲称，若取定y=0则得到曲 第一节多元雨数的基. 第二节编导数 称之=f(x,y)与平称y=0的一条交线 第三节全微分 第四节多元复合雨数 第五节多元微分学的 之=f(x,y 第六节例题详解 y=yo 李铮致案 由一元函数导数的几何意义知，偏导数f(xo,0)是 标题页 平称y=0上的曲线之=f(x,0)在点(c0,0,20)处 的切线关于x轴的斜率，偏导数f(a0,0)是平 称x=x0上的曲线之=f(x0,)在点(0,0,0)处 第19页13 的切线关于y轴的斜率。 返回 全屏显示 ·注意： 关闭 偏导数存在只表示沿两条交线方向函数极限存在， 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 19 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ✓✄➻ê➔✓ê✛❆Û➾➶ ✸❺✍❿■❳➙➜✓✄➻ê f(x, y), (x, y) ∈ D ✛ã ✴➌❸➫➌Ü➌♠➢→➜❡✒➼ y = y0 ❑✚✔➢ → z = f(x, y) ❺➨→ y = y0 ✛➌❫✂❶ ( z = f(x, y) y = y0 ❞➌✄➻ê✓ê✛❆Û➾➶⑧➜➔✓ê f 0 x (x0, y0) ➫ ➨→ y = y0 þ✛➢❶ z = f(x, y0) ✸✿ (x0, y0, z0) ❄ ✛ ❷ ❶ ✬ ✉ x ➯ ✛ ✒ ➬ ➜ ➔ ✓ ê f 0 y (x0, y0) ➫ ➨ → x = x0 þ✛➢❶ z = f(x0, y) ✸✿ (x0, y0, z0) ❄ ✛❷❶✬✉ y ➯✛✒➬✧ • ✺➾➭ ➔✓ê⑧✸➄▲➠÷ü❫✂❶➄➉➻ê✹⑩⑧✸
。2.3 高由偏导数 ·二阶偏导数 上降元大 设函数f(x,),(c,)∈D在D内具有偏导数 第一节多元雨数的基， Oz -,0, -a, 3 第二节偏导数 第三节全微分 第四节多元复合雨数 第五节多元微分学的 如果这两个偏导函数的偏导数存在，则称偏导数的 第六节题详解 偏导数为二阶偏导数，二阶偏导数有四个 82z 0)=f,, 李铮救离 0x2 -ay∂y =f”(x,), 标题页 82z ∂ 0x∂y B3=Jc, '0y0r 005)=fx, 第20页1G 返回 全屏显示 其中 称为混合偏导数，当混合偏导数 ax0y’ ∂y0z 关闭 02x 02x 退出 在D内连续时，有 ax∂y ∂y∂x
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 20 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • 2.3 ♣❞➔✓ê • ✓✣➔✓ê ✗➻ê f(x, y),(x, y) ∈ D ✸ D ❙ä❦➔✓ê ∂z ∂x = f 0 x (x, y) , ∂z ∂y = f 0 y (x, y) ❳❏ùü❻➔✓➻ê✛➔✓ê⑧✸➜❑→➔✓ê✛ ➔✓ê➃✓✣➔✓ê➜✓✣➔✓ê❦♦❻ ∂ 2 z ∂x2 = ∂ ∂x( ∂z ∂x) = f 00 xx(x, y) , ∂ 2 z ∂y2 = ∂ ∂y( ∂z ∂y) = f 00 yy(x, y), ∂ 2 z ∂x∂y = ∂ ∂y( ∂z ∂x) = f 00 xy(x, y), ∂ 2 z ∂y∂x = ∂ ∂x( ∂z ∂y) = f 00 yx(x, y) Ù➙ ∂ 2 z ∂x∂y , ∂ 2 z ∂y∂x →➃➲Ü➔✓ê➜✟➲Ü➔✓ê ✸ D ❙ë❨➒➜❦ ∂ 2 z ∂x∂y = ∂ 2 z ∂y∂x