。注意： 二重极限存在要求M(x,y)以任意方式趋 于(xo,0)时，函数f(x,y)都无限接近于常 数A,需要用定义证明较困难。 第一节多元函数的基. 而如果M(x,)以两种不同的方式趋于Mo(o,o)时 第二节编导数 第三节全微分 得到的极限值不同，那么二重极限一定不存在。 第四节多元复合函数 第五节多元微分学的. 第六节例详解 *例1.4设fc,功= xy ,问当(，)→(0,0)时 x2+y2 李铮教案 f(x,的极限是否存在？(6.1.4) 标题页 ·问题： (1)考虑当x→0，y→0时，f(x,)= 2y2 第1页03 z2 +y4 的 返回 极限是否存在？ 全屏显示 (2)考虑当x→0，y→0时，f(c,y)= 的极 关闭 x+y 退出 限是否存在？ (6.1.5)
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 11 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ✺➾➭ ✓ ➢ ✹ ⑩ ⑧ ✸ ❻ ➛ M(x, y) ➧ ❄ ➾ ➄ ➟ ➟ ✉ M0(x0, y0) ➒ ➜ ➻ ê f(x, y) Ñ ➹ ⑩ ✚ ❈ ✉ ⑦ ê A ➜■❻❫➼➶②➨✖✭❏✧ ✌❳❏ M(x, y) ➧ü➠ØÓ✛➄➟➟✉ M0(x0, y0) ➒ ✚✔✛✹⑩❾ØÓ➜❅♦✓➢✹⑩➌➼Ø⑧✸✧ ? ⑦1.4 ✗ f(x, y) = xy x 2 + y 2 ➜➥✟ (x, y) → (0, 0) ➒ f(x, y) ✛✹⑩➫➘⑧✸➸ (6.1.4) • ➥❑➭ (1) ⑧➘✟ x → 0 , y → 0 ➒➜ f(x, y) = xy2 x 2 + y 4 ✛ ✹⑩➫➘⑧✸➸ (2) ⑧➘✟ x → 0 , y → 0 ➒➜ f(x, y) = xy x + y ✛✹ ⑩➫➘⑧✸➸ (6.1.5)
。例1.5求极限 (2+x)lm(1+xy) lim (x,)→(0,0) xy 解：原式=2lim In(1+xy) -2 (x,y)→(0,0) xy 第一节多元函效的基 第二节编导数 第三节全微分 第四节多元望合雨数 ·1.4二元函数的连续性 第五节多元微分学的 第六节例题详解 ·定义 若1imf,)=f(x0,0),则称函数fz,) 李饰教案 (x,y)一→(x0,0) 标题页 在(xo,0)处连续。 州炒 与一元函数连续的性质类似，二元函数的连续也有 第2页03 相应的性质。如闭区域上的连续函数有最值定理、 返回 介值定理等。 全屏显示 关闭 ·多元函数的极限与连续可以给出相应的定义 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 12 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ⑦1.5 ➛✹⑩ lim (x,y)→(0,0) (2 + x)ln(1 + xy) xy ✮➭✝➟=2 lim (x,y)→(0,0) ln(1 + xy) xy = 2 • 1.4 ✓✄➻ê✛ë❨✺ • ➼➶ ❡ lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = f(x0, y0) ➜❑→➻ê f(x, y) ✸ (x0, y0) ❄ë❨✧ ❺➌✄➻êë❨✛✺➓❛q➜✓✄➻ê✛ë❨➃❦ ❷❆✛✺➓✧❳✹➠➁þ✛ë❨➻ê❦⑩❾➼♥✦ ✵❾➼♥✤✧ • õ✄➻ê✛✹⑩❺ë❨➀➧❽Ñ❷❆✛➼➶
2 第二节 偏导数 。2.1全增量与偏增量 *全增量 第一节多元函数的基。 第二节编导数 设二元函数z=f(c,)在点P(c0,0)的某个邻 第三节全微分 第四节多元复合函数. 域U(Po)内有定义，当自变量x,y在x0,0处有增 第五节多元微分学的 第六节例详解 量△x,△y时，相应的函数增量称为全增量，记 作：△z,即△z=f(x0+△x,0+△y)-f(xo,0). 李铮教案 标题页 *偏增量 如果二元函数之=f(x,)仅当自变量x在0处有增 量△c自变量y在0处没有增量时，相应的函数增 第13页103 量称为函数对x的偏增量，记作：△之， 返回 即△x之=f(x0+△x,o)-f(x0,0）; 全屏显示 关闭 类似地，函数对y的偏增量，记作：△y2, 退出 即△g2=f(x0,0+△y）-f(20,0)
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 13 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 2 ✶✓✦ ➔✓ê • 2.1 ✜❖þ❺➔❖þ ? ✜❖þ ✗ ✓ ✄ ➻ ê z = f(x, y) ✸ ✿ P0(x0, y0) ✛ ✱ ❻ ✙ ➁ U(P0) ❙❦➼➶➜✟❣❈þ x, y ✸ x0, y0 ❄❦❖ þ 4x, 4y ➒➜❷❆✛➻ê❖þ→➃✜❖þ➜P ❾➭ 4z ➜❂ 4z = f(x0 + 4x, y0 + 4y) − f(x0, y0) . ? ➔❖þ ❳❏✓✄➻ê z = f(x, y) ❂✟❣❈þ x ✸ x0 ❄❦❖ þ 4x ❣❈þ y ✸ y0 ❄✈❦❖þ➒➜❷❆✛➻ê❖ þ→➃➻êé x ✛➔❖þ➜P❾➭ 4xz ➜ ❂ 4xz = f(x0 + 4x, y0) − f(x0, y0) ➯ ❛ q ✴ ➜ ➻ ê é y ✛ ➔ ❖ þ ➜ P ❾ ➭ 4yz ➜ ❂ 4yz = f(x0, y0 + 4y) − f(x0, y0) ✧
。2.2偏导数的概念与计算 大定义： 第一节多元雨数的基 设二元函数之=f(x,y)在点P(axo,0)的某个邻域 第二节导数 第三节全微分 U(P)内有定义，如果极限 第四节多元复合雨数 第五节多元微分学的 第六节例题详解 li △x3 lim f(x0+△x,y0）-f(0,3o】 存在， △x-0△x △x→0 △x 李饰教案 则称此极限值为二元函数之=f(x,)在点 标题页 P(x0,0)处对x的偏导数，记作： 8z 州炒 (o) 4 二元函数z=f(x,y)在点(x0,0)处对x的偏导数 第14页03 返回 也可以记作： ∂f 全屏显示 0zl(o,o）、 2xo.0）、fr(0,30）定lo.w）、f(r0,0） 关闭 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 14 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • 2.2 ➔✓ê✛❱❣❺❖➂ ? ➼➶➭ ✗✓✄➻ê z = f(x, y) ✸✿ P0(x0, y0) ✛✱❻✙➁ U(P0) ❙❦➼➶➜❳❏✹⑩ lim 4x→0 4xz 4x = lim 4x→0 f(x0 + 4x, y0) − f(x0, y0) 4x ⑧✸➜ ❑→❞✹⑩❾➃✓✄➻ê z = f(x, y) ✸✿ P0(x0, y0) ❄é x ✛➔✓ê➜P❾➭ ∂z ∂x|(x0,y0) ✧ ✓✄➻ê z = f(x, y) ✸✿ P0(x0, y0) ❄é x ✛➔✓ê ➃➀➧P❾➭ ∂f ∂x|(x0,y0) ✦ zx|(x0,y0) ✦ fx(x0, y0) ➼ z 0 x |(x0,y0) ✦ f 0 x (x0, y0)
·类似地，二元函数之=f(x,)在点P(0,0)处 对y的偏导数为 上大子 ∂z △y2 lim f(0,0+△y-f(x0,y0) ao0）= lim △y→0 △y △y→0 △y 第一节多元雨数的基。 第二节偏导数 第三节全微分 也可以记作： 第四节多元复合雨数 第五节多元微分学的 of 第六节例题详解 By ln0)、f(0,36)定lo.)、f(x0,0） 李铮敢乘 二元函数之=f(x,)在任意点P(x,处的偏导数可 标题页 以记作为： 8z 炒 z、 、f红，)定、 、、， 第5页13 ·注意： 返回 全屏显示 由偏导数定义知；二元函数z=(,)对x求偏导 关闭 数时，只要把y看成常数对x求导数即可： 退出 对y求偏导数时，只要把x看成常数对y求导数
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 15 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ❛ q ✴ ➜ ✓ ✄ ➻ ê z = f(x, y) ✸ ✿ P0(x0, y0) ❄ é y ✛➔✓ê➃ ∂z ∂y|(x0,y0) = lim 4y→0 4yz 4y = lim 4y→0 f(x0, y0 + 4y) − f(x0, y0) 4y ➃➀➧P❾➭ ∂f ∂y |(x0,y0) ✦ zy|(x0,y0) ✦ fy(x0, y0) ➼ z 0 y |(x0,y0) ✦ f 0 y (x0, y0) ✓✄➻ê z = f(x, y) ✸❄➾✿ P(x, y) ❄✛➔✓ê➀ ➧P❾➃➭ ∂z ∂x ✦ zx ✦ fx(x, y) ➼ ∂f ∂y ✦ z 0 y ✦ f 0 y (x, y) • ✺➾➭ ❞➔✓ê➼➶⑧➯✓✄➻ê z = f(x, y) é x ➛➔✓ ê➒➜➄❻r y ✇↕⑦êé x ➛✓ê❂➀➯ é y ➛➔✓ê➒➜➄❻r x ✇↕⑦êé y ➛✓ê✧