。n维点集 上降元大 平面点集的相关概念可以推广到三维空间，进 一步，所有n元有序数组(1，x2,·,xn)T的集合 第一节多元雨数的基， 第二节偏导数 在赋予了加法和数乘运算后称为线性空间， 第三节全微分 第四节多元复合雨数 记为”，(x1,2,·,c)T称为n维向量，常记 第五节多元微分学的 第六节例题详解 作：x=(1,x2,…,n)T，其中C1,x2,,xn称x为 向量的坐标或分量；O(0,0,··,0)称为原点， 李铮救离 标题页 炒 第6页03 称为向量x的模。 返回 设P(c1,2,,n),Q(y12,,n)是Rm中的任意 全屏显示 两点，则两点间的距离为： 关闭 |PQ=V(x1-1)2+(x2-2)2+··+(xm-yn)2 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 6 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • n ➅✿✽ ➨→✿✽✛❷✬❱❣➀➧í✷✔♥➅➌♠➜❄ ➌Ú➜↕❦ n ✄❦❙ê⑤ (x1, x2, · · ·, xn) T ✛✽Ü ✸ ❉ ❷ ✡ ❭ ④ Ú ê ➛ ✩ ➂ → ➃ n ❶ ✺ ➌ ♠ ➜ P ➃ Rn ➜ (x1, x2, · · ·, xn) T → ➃ n ➅ ➉ þ ➜ ⑦ P ❾➭ x = (x1, x2, ···, xn) T ➜Ù➙ x1, x2, ···, xn → x ➃ ➉þ✛❿■➼➞þ➯ O(0, 0, · · ·, 0) →➃✝✿➜ ||x|| = (X n i=1 x 2 i ) 1 2 →➃➉þ x ✛✜✧ ✗ P(x1, x2, · · ·, xn) , Q(y1, y2, · · ·, yn) ➫ Rn ➙✛❄➾ ü✿➜❑ü✿♠✛å❧➃➭ |P Q| = p (x1 − y1) 2 + (x2 − y2) 2 + · · · + (xn − yn) 2
。1.2多元函数的定义 ★二元函数 设D是平面上的一个点集，如果对于D中的任意一 点M(x,y)，按照对应法则∫有唯一确定的值之与 第一节多元函数的基. 之对应，则面f为二元函数，记为： 第二节编导数 第三节全微分 第四节多元复合函数 之=f(x,),(x,)∈D，D为f的定义域， 第五节多元微分学的· 第六节例详解 记为：D(f)，x,y面为∫的自变量，数集 Z={z=f(x,),(x,)∈D}面为f的值域，或 李锋救案 记为R(f)。 标题页 二元函数的几何意义：一张空间曲面。 类似可以定义三元函数u=f(x,y,)。 第7页t03 女n元函数 返回 全屏显示 设D是R”中的非空子集，f是D→R的映射，则 关闭 面f是定义在D上的n元函数，记作：f:D→R 退出 或u=f(P),P∈D
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 7 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • 1.2 õ✄➻ê✛➼➶ ? ✓✄➻ê ✗ D ➫➨→þ✛➌❻✿✽➜❳❏é✉ D ➙✛❄➾➌ ✿ M(x, y) ➜❯ìé❆④❑ f ❦➁➌✭➼✛❾ z ❺ ❷é❆➜❑→ f ➃✓✄➻ê,P➃➭ z = f(x, y) , (x, y) ∈ D ➜ D ➃ f ✛➼➶➁➜ P➃➭ D(f) ➜ x , y →➃ f ✛❣❈þ➜ê✽ Z = {z|z = f(x, y) , (x, y) ∈ D} →➃ f ✛❾➁➜➼ P➃ R(f)✧ ✓✄➻ê✛❆Û➾➶➭➌Ü➌♠➢→✧ ❛q➀➧➼➶♥✄➻ê u = f(x, y, z) ✧ ? n ✄➻ê ✗ D ➫ Rn ➙✛➎➌❢✽➜f ➫ D → R ✛◆✓➜❑ → f ➫➼➶✸ D þ✛ n ✄➻ê➜P❾➭f : D → R ➼ u = f(P) , P ∈ D ✧
例1.1 求函数之=√-√万的定义域。 解： x-V≥0 第一节多元雨数的基 第二节编导数 y≥0 第三节全微分 第四节多元望合雨数 所以定义域为： {(x,y)x≥0，y≥0，x2≥} 第五节多元微分学的 第六节例题详解 *例1.2 李铮教案 设f+,兰=x2-y2,求f,,fr-,x。 标题页 解：设山=心+，v= ,则x= u u 2 1+元，y= 1+U 第8页103 所以fu,w)= u2(1-v (1+w)2 ,f,0= x2(1- (1+2 返回 (x-)2(1-xy) 全屏显示 f(x-y,xy)= 关闭 (1+xy)2 退出
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 8 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ⑦1.1 ➛➻ê z = p x − √y ✛➼➶➁✧ ✮➭ ( x − √y ≥ 0 y ≥ 0 ↕➧➼➶➁➃➭ {(x, y)|x ≥ 0, y ≥ 0, x2 ≥ y}✧ ? ⑦1.2 ✗ f(x + y, y x ) = x 2 − y 2 ,➛ f(x, y) , f(x − y, xy) ✧ ✮➭✗ u = x + y , v = y x ➜❑ x = u 1 + v , y = uv 1 + v ↕➧ f(u, v) = u 2 (1 − v) (1 + v) 2 , f(x, y) = x 2 (1 − y) (1 + y) 2 ➜ f(x − y, xy) = (x − y) 2 (1 − xy) (1 + xy) 2
。1.3多元函数的极限与连续 上天大平 ·二重极限 第一节多元雨数的基… ★定义： 第二节偏导数 第三节全微分 设函数f(x,y在区域D内有定义，M0(xo,o)是D的 第四节多元复合雨数 第五节多元微分学的 内点或边界点，如果对于任意给定的正数ε，总存 第六节例题详解 在正数6，使得对于适张不等式 0<p=|MM0l=V(x-0)2+(y-02<δ 李铮敢案 标题页 的一切点M(c,)∈D,都有|f(c,)-A<e成立， 则称常数A为函数f(x,)当x→x0,y→o时的极 限，记作： lim f(x,y)=A 第9页103 C-I0 y→90 返回 或 全屏显示 lim f(x,y)=A 关闭 (x,y)→(x00） 退出 二元函数的极限称为二重极限
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 9 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • 1.3 õ✄➻ê✛✹⑩❺ë❨ • ✓➢✹⑩ ? ➼➶➭ ✗➻ê f(x, y) ✸➠➁ D ❙❦➼➶➜ M0(x0, y0) ➫ D ✛ ❙✿➼❃✳✿➜❳❏é✉❄➾❽➼✛✔ê ε ➜♦⑧ ✸✔ê δ ➜➛✚é✉➲ÜØ✤➟ 0 < ρ = |MM0| = p (x − x0) 2 + (y − y0) 2 < δ ✛➌❷✿ M(x, y) ∈ D➜Ñ❦ |f(x, y) − A| < ε ↕á, ❑→⑦ê A ➃➻ê f(x, y) ✟ x → x0 , y → y0 ➒✛✹ ⑩➜P❾➭ x lim→x0 y→y0 f(x, y) = A ➼ lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = A ✓✄➻ê✛✹⑩→➃✓➢✹⑩✧
上降元大 。例1.3 第一节多元雨数的基， 证明：lim xy 第二节编导数 =0。 第三节全微分 第四节多元复合雨数. (z,0-(0,0)Vx2+y2 第五节多元微分学的 第六节例腿详帮 证：由于 xy <E V2+y2 2 李铮救离 标题页 所以，e>0,取6=2e,当/x2+y2<6时，有 xy 0<e,即 Va2+y2 第10页10 xy lim =0 返回 (x,y)一→(0,0) /x2+y2 全屏显示 关闭 退出
✶ ➌ ✦ õ ✄ ➻ ê ✛ ➘. . . ✶✓ ✦ ➔ ✓ ê ✶♥ ✦ ✜ ❻ ➞ ✶ ♦ ✦ õ ✄ ❊Ü➻ ê. . . ✶✃ ✦ õ ✄ ❻ ➞ ➷ ✛. . . ✶✽ ✦ ⑦❑ ➁ ✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ⑦1.3 ②➨➭ lim (x,y)→(0 ,0) xy p x 2 + y 2 = 0 ✧ ② ➭❞✉ | xy p x 2 + y 2 − 0| ≤ p x 2 + y 2 2 < ε ↕ ➧ ➜ ∀ε > 0 ➜ ✒ δ = 2 ε ➜ ✟ p x 2 + y 2 < δ ➒ ➜ ❦ | xy p x 2 + y 2 − 0| < ε ➜ ❂ lim (x,y ) →(0 ,0) xy p x 2 + y 2 = 0