第一章25函数与极限lim(x+2)-(x+2)lim11+x+x2lim(1+x+x2).3=-1.32.计算下列极限：x3+2x22(1)lim-(2)lim1-2(x-2)2i2x+1(3) lim(2x3-x +1).解（1）因为lim(x-2)2(x-2)2lim=0+2 x3 +2x2lim(x3+2x2)r2所以x3+2元2lim=801-2(x-2)2（2）因为lim2*+ im(242所以42limY-2x+1（3）因为111lim= lim=0112x-x+12-2lim(++tx2所以lim(2x3-x+1)=003.计算下列极限：1(2) limarctan x(1) limx sint4解（1）因为x20(x-0），sin≤1,所以1limxsin=0.x0(x→），laretanxl<（2）因为-，所以2xarctan xlim=0X*+
26一、《高等数学》（第七版）上册习题全解4.设lant，1bl，icnt均为非负数列，且liman=0,limbn=1，limc,=o，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例.(1)a,<b.,neN+;(2)b,<cn,nEN+i（3）limancn不存在；（4）limbncn不存在一.bn=n解（1）错.例如a，“,+neN，，当n=1时，,=>=b，故对2n任意neN+，an<b,不成立.（2）错.例如b，=n+.c,=（-1)"n，neN当n为奇数时，b,<c,不成立.1（3）错.例如a,=c=n,neN.lmac=.（4）对.因为，若limbnc.存在，则limCh=lim（bnca）·lim也存在，与已知条件-ab.矛盾，5.下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例（1）如果limf（x）存在，但limg（x）不存在，那么limf（x）+g（x）不存在（2）如果limf（x）和limg（x）都不存在，那么lim[（x）+g（x）不存在：（3）如果limf（x）存在，但limg（x）不存在，那么lim（x）g（x）不存在，解（1）对.因为，若lim[f(x）+g（x）］存在，则limg（x）=limL（x）+g（x））lim（x）也存在，与已知条件矛盾（2）错.例如f（x）=sgnx，g（x）=-sgnx在x→0时的极限都不存在，但f（x）+g（x）=0在x0时的极限存在1一不存在，但limxsin=0（3）错.例如limx=0，limsin2*6.证明本节定理3中的（2）定理3（2）如果limf（x）=A，limg（x）=B，那么lim[f(x)·g(x)]=lim(x)limg(x)=A-B.证因limf（x）=Alimg（x）=B，由上节定理1有f（x）=A+α，g（x）=B+β其中αβ都是无穷小，于是f(x)g(x)=(A+α)(B+β)=AB+(Aβ+Bα+αβ),由本节定理2推论1、2，AβBα、α都是无穷小，再由本节定理1（Aβ+Bα+αB）也是无穷小，由上节定理1，得limf(x)g(x)=AB=limf(x):limg(x)
27第一章函数与极限习题1-6极限存在准则两个重要极限1.计算下列极限：(2) lim tan 3x.(1) lim sin ox1-0Xx0(3) lim sin 2x(4) lim xcot x;-0sin5x1-cos2x(5)lim(6)lim2"sin（x为不等于零的常数），2hxsinx03解（1）当￥0时，sinwxsin wxsin wxlim=0lim=lim(o)=0;oxxwx当=0时，sin wxlim=0=0,+0asin wx故不论为何值，均有lim=W.xtan3xtan3xtan3x=33(2)lim=lim(=3lim3x3xx1-025xsin2x2sin 2xsin2x5x2(3)limlimlim.lim52xsin 5x5.102x--0sin5xtosin5x5ax(4)lim xcotx=lim.cosAlim.limcos x =1.sin x-osinx2sin?1-cos2xXsinx=2.lim2lim(5)limxsinx-0xsinx10xxsin2″X=lim(6)lim2"sin=x2"x2n2.计算下列极限：(1) lim(1 - x);(2) lim(1 +2x);(3) lm()2(4) lim(1-)（h为正整数）解(1) lim(1 -x)=lim[1 +(-x)](-1) =e-1(2) lim(1 +2x)=lim[(1+2x)j2=e2(3) m()=m[(1+=e
28、《高等数学》（第七版）上册习题全解(-k)(4)lim=lim1+1=e*3.根据函数极限的定义，证明极限存在的准则「准则I如果(1)g(x)≤f(x)≤h(x),xeU(xo,r):(2)limg(x)=A,limh(x)=A,那么lim（x）存在，且等于A.证>0,因limg（）=A故>0当0<1-|时，有Ig（x）-AI<8,即(3)A-6<g(x)<A+8,又因limh（x）=A，故对上面的>0，3>0，当0<1x=xo1<8,时，有[h(x)-AI<E,即(4)A-e<h(x)<A+e.取8=min18,82，rl，则当0<1x-xo/<8时，假设（1）及关系式（3）、（4）同时成立，从而有A-E<g(x)≤f(x)≤h(x)<A+E,即有If（x）=AI<e.因此lim（x）存在，且等于A.注对于x-的情形，利用极限limf（x）=A的定义及假设条件，可以类似地证明相应的准则「4.利用极限存在准则证明：1(1）lim=In--(2)limnn2+Tn2+2㎡n2+nT（3）数列/22+/2.2+/2+/2，的极限存在；(4)lim/1+x=1(5) lim<1 +，而lim1=1，lim证(1)因11，由夹逼准则，即r得证-n11nn(2）因而limn?+nTCn2+Tn2+2mn2+Tn+Tn+Tn21,lim=1，由夹逼准则，即得证，=n2+TT
29第一章函数与极限(3)xn+1=/2+x(neN.),x)=/2.先证数列x,有界：n=1时，x=/2<2：假定n=k时，x<2.当n=k+1时，xk+1=/2+x</2+2=2.故x,<2(neN+).再证数列x单调增加：因2+x,-x(xn-2)(xn+1)xn+1-x=/2+x-xn2+x,+x.2+x,+x由0<x<2,得xn+1-x,>0,即x+1>x,（nEN)由单调有界准则，即知limx，存在。记limx，=a.由x，t1=2+x，，得xz+1=2+x.两端同时取极限得a2=2+=a2-a-2=0=a=2,02=-1（舍去）.即limx,=2.注本题的求解过程分成两步，第一步是证明数列1x，单调有界，从而保证数列的极限存在；第二步是在递推公式两端同时取极限，得出一个含有极限值a的方程，再通过解方程求得极限值a.注意：只有在证明数列极限存在的前提下，才能采用第二步的方法求得极限值.否则，直接利用第二步，有时会导出错误的结果(4）当x>0时，1</+x<1+x；当-1<x<0时，1+x</+x<1.而lim1=1，lim（1+x）=1.由夹逼准则，即得证≤1.而lim（1-x）=1lim1=1.由夹逼准则，即（5）当x>0时1-x<x得证.习题1-7无穷小的比较1.当x-0时，2x-x与x2-×3相比，哪一个是高阶无穷小？解因为lim（2x-x）=0,lim（x2-x3）=0x2-x3x-x2im=lim=002x-x21-02-x所以当x-0时，x2-x3是比2x-x2高阶的无穷小2.当x-0时，（1-cosx）2与sinx相比，哪一个是高阶无穷小？解因为lim（1-cosx）2=0,limsin2x=012lim (1 - cos x)2=0,=limsin?xa2--0