20、《高等数学》（第七版）上册习题全解取X=maxX,X,则当lx>X即x>X或x<-X时，就有f(x）=A<e即limf(x）=A.11.根据函数极限的定义证明：函数f（x）当x一→xo时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证必要性若limf（）=A，则V>0，38>0，当0<1x-x1<时，就有If(x)-AI<8.特别，当0<x-xo<时，有1f（x）-A1<，即limf(x）=A；当0<x-x<时，有If(x）-AI<,即limf(x）=A充分性若lim（x）=A=limf（x）则V>0，日8>0当0<x-x<8时，就有f）<又8>0,当0-x,时就有F(）-AI<.取=min（8,02/则当0<1x-x<8时，就有1f（x）-Al<即limf（x）=A*12.试给出x一时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明，解局部有界性定理如果limf（x）=A，那么存在常数M>0和X>0，使得当Ix|>X时,有If(x)|≤M.证明如下：因为limfx）=A，所以对=1>0，3X>0，当1x1>X时，就有I(α）-AI<1,从而IF(x)I≤U(x)-AI+IAI<I+IAI,取M=1AI+1，即有当1xl>X时，I(x）/≤M习题1-4无穷小与无穷大F1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之解不一定.例如，α()=2×与β(*）=3x都是当0时的无穷小，但()β(x)2却不是当x一0时的无穷小32.根据定义证明：x2-9为当x-3时的无穷小；(1)yx+31(2)y=xsin为当x-0时的无穷小-x2-9证（1）因为=1x-31,所以Vg>0,取8=e,则当0<1x-31<8时，x+3就有
21第一章函数与极限98机为当x-3时的无穷小x+3（2）因为xsin≤1xl所以V>0取=，则当0<1l<8时，就有1xsinEY即xsin为当x-→0时的无穷小，1"3.根据定义证明：函数=+2*为当x=0时的无穷大.问应满足什么条件，能使xyl >104?1+2元1+2证因为>M，只要要使2 >M,xx111+2x>M即|x|<所以VM>0取8=，则当0<1x-01<8时，就有M+2M+2x即+2*为当x→0时的无穷大。x11+2>104令M=104取8=时，就能使当0<1x-01104+2'10*+2x1+2x注在本题的证明中，采取先将If（x）1等价变形，然后适当缩小，使x缩小后的量大于M，从而求出6.这种方法在按定义证明函数在某个变化过程中为无穷大时，也是经常采用的4.求下列极限并说明理由：2x+11-x2(1) lim(2) limx(1) lim2x +1_1解x为当×-→时的无穷小；再由定理1，lim理由：由定理2，1 -x2= lim(1 +x) =1.(2)lim-01-x理由：由定理1，lim（1+x）=1.5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表：
22《高等数学》（第七版）上册习题全解f(x)-→A(x)+00f(x)→+(x)-αVe>0,38>0,VM>0,38>0.M>0,30>0,0.30使当0<1x-x1使当0<1x-x1使当01x-使当0<1x-1X+30<8时，即有<8时，即有<6时，即有<8时，即有I(x) 1 >M.f(x) >M.F(x) <-M.If(x)-AI<E.V8>0.8>0,VM>0.38>0.VM>0,38>0.VM>0.38>0.使当0x-使当0<使当0x-x<使当0<x-x。<ox-→+xo8时，即有时，即有6时，即有时，即有I(x)1 >M.F(x)>M.J(x)<-M.IF(x)-AI<Ee>08>0.VM>0.38>0.VM>0,38>0.VM>0.8>0.使当0>>使当0>->使当0>>使当0>x-x。+x0-8时，即有-8时，即有-8时，即有-8时，即有I(x) I >M.J(x)>M.J(x)<-M.I(x) -AI<8.Ve>0,3X>0.VM>O.EX>>OE>VM>0,EX>0.使当1xl>X时，0.使当1x1>X0.使当1x1>X使当Ix>X时，→00即有即有时，即有时，即有(x)<-M.(x)1>M.f(x) >M.If(x)-Al<eVE>0,3X>0.VM>O,3X>M>E>VM>0,3X>0.使当x>X时，0.使当x>X时，0.使当x>X时，使当x>X时，+0即有即有即有即有(x)>M.f(x)<-M.U(x)1 >M.If(x) -Al <e.Vg>0.3X>0.VM>O.3X>VM>O.EX>VM>0.3X>0.使使当x<-x时，0.使当x<-X0.使当x<-x当-X时，即有OC即有时，即有时，即有(x)<-M.1(x)1 >M.J(x)>M.If(x)-AI <86.函数y=xcosx在（-80，+）内是否有界？这个函数是否为x-→+8时的无穷大？为什么？解因为VM>0,总有xoe（M，+），使cosx=1，从而y=xocosxo=xo>M，所以y=xcosx在（-，+）内无界又因为VM>0,X>0,总有xoe（X，+），使cosxo=0从而y=xocosxo=0<M，所以y=f(x）=xcosx不是当x-→+时的无穷大，11在区间（0，11内无界，但这函数不是x一0时的无穷大*7.证明：函数y=sinxX11一在区间（0，11内无界）证先证函数Yxx
23第一章函数与极限-因为VM>0.在（0.1]中总可找到点xo，使f（）>M.例如，可取xoke2k元+号211N），则（xo）=2k+号，当充分大时，可使(xo）>M.所以y=在（0,11内无界）sin再证函数y=(x)=sin一不是x→0*时的无穷大。xX因为M>0,8>0，总可找到点x0，使0<x<8,但f）<M.例如，可取x=L（kEN+），当k充分大时，0<x<8.但f（x）=2kmsin2k㎡=0<M.所以2km1一不是×→0+时的无穷大，sinxx48.求函数f（x）的图形的渐近线，2-解因为limf（x）=0，所以y=0是函数图形的水平渐近线因为limf（x）=，limf（x）=α，所以x=-/2及x=/2都是函数图形的铅直渐近线，习题1-5极限运算法则1.计算下列极限：x2+5x2-3(2) lim(1)limx-3-斤2+1x2-2x+14x3-2x2+x(4) lim(3)limx2-13x2+2x(x+h)2-x2(6) lim(2 --(5)lim-+);福-h2_1x2+x(7)lim(8)lim*2x2-x-*x4-3±2+1x2-6x+8(10) lm(1+)(2-);(9)lim4x2-5x+4(12) imI+2 +3 +.+(n -1),(11) lim(1 +24n2(n+1)(n+2)(n+3)3(13)lim(14) lim1-x1-x35n3lim(x2 +5)x2+59解(1)lim-9.-1x-3lim(x-3)
24、《高等数学》（第七版）上册习题全解lim(x2-3)x2-30E(2)lim=045x2+1lim(x?+1)5lim(x-1)x2-2x+1(x-1)20=limz-1=lim(3)lim=02x?-1-(x-1)(x+1)-1x+1lim(x+1)Elim(4x2-2x+1)4x3-2x2+x4x2-2x+11=lim(4) lim23x2+2x3x+2lim(3x+2)a3+0(5) lim(x + h)-12h(2x+h)lim=lim(2x+h)=2xhh4-0A--06-01111(6)lim=lim2lim+ lim=2-0+0=2*+2xrx1I1 limt2Xx2 -11=lim(7)lim1+~*2元21/x-1122lim(x2tx+1111lim++2x3x2 +x0=lim=0(8)lim3131x4-3x2+111lim(1+X242+mlim(x-2)x2-6x+8x-22(x-4)(x-2)=lim=lim(9)lim3lim(x-1)1-4(x-4)(x-1)1-4x-1*x2-5x+4(10) m(1+)(2-)=lm(1+)· Im(2-)=1 ·2=2.1124+11(1) (+++++=limlim2三1242n+n321 lm2)=22m(1)1+2+3+**+（n-1)(12)limn?2n2anm(+1)(2)(n+3)=m(1+)(1+)(1+)(13)lim5n35+0(+)(++)(1+业)151+*+**-3-lim-(x-1)(x+2)(14) limlim1-x3-(1-x)(1 +x+x2)-x1-