30、《高等数学》（第七版）上册习题全解所以当x-0时（1-cosx）2是比sinx高阶的无穷小3.当x-1时，无穷小1-×和（1)1-x3（2）-一（1-x2）是否同阶，是否等价？1-x11-x1解(1)（x→1），同阶，不等价3231+x+x2(1-x)(1+x+x2)-1-x21-41（x-→1）.同阶，等价(2)111+x-(1 -x2)(1 -x)(1 +x)224.证明：当x-0时，有x2(1)arctan x~x;(2)secx2证（1）令x=tant即t=arctanx，当x-→0时，t0因为tarctanxlim-=lim=1r-otan tx1--0所以(x→0).arctan x~x（2）因为2sin2x-21 cos xlimsec x-1=lim=lim22t22cos xcosx222sin?x21limlincos.所以→0）sec x325.利用等价无穷小的性质，求下列极限：(1) limtan 3xsin (x")(2)lim（nm为正整数）；2x-0(sin x)"(3) liman x-sin xsin x-tan x(4)lim-sinxt-(+x2-1)(/1+sin x-1)3x3tan3x解(1) lim= lim22x1-02x1-00,n>m.sin (x")xn=lim(2)lim1,n=m,(sinx)m0xmo,n<m
31第一章函数与极限x221tan x-sin xsec x-(3)lim=lim= lim202sinxsin2x注，在作等价无穷小的代换求极限时，可以对分子或分母中的一个或若干个因子作代换，但不能对分子或分母中的某个加项作代换例如，本题中若将分子中的tanx、sinx均换成x，那么分子成为0，得出极限为0，这就导致错误的结果sin x -tan xsin x(1-sec x)=lim(4)lim12.1(i+x2-1)(1+sinx-1)sinx322=lim3t66.证明无穷小的等价关系具有下列性质：（1）α~α（自反性）；（2）若α~β，则β~α（对称性）：（3）若α~ββ~，则α~（传递性）.证（1)因为lim%=1,所以α~α；αB=1,即β~α;(2）因为α~β，即lim=1,所以lim上BdB=1.所以O（3）因为α~ββ~，即lim=1,limβyβQaxaB=1,即α~lim= lim.lim=limββyYy习题1-8函数的连续性与间断点1.设y=（x）的图形如图1-11所示，试指出（x）的全部间断点，并对可去间断点补充或修改函数值的定义，使它成为连续点JA图1-11
32、《高等数学》（第七版）上册习题全解解x=-1,0，1,2均为f（x）的间断点.除x=0外它们均为f（x）的可去间断点.补充定义f（-1）=f（2）=0，修改定义使f（1）=2，则它们均成为f（x）的连续点2.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：x20≤x≤1,(1) f(x):[2-x，1<x≤2;一x一,(2) F(x)=[,x<-1或x>11解（1）f（x）在[0,1）及（1,2]内连续，在x=1处，limf(x)=limx2=1,limf(x)=lim(2-x）=1,又f(1)=1,故f(x）在x=1处连续，因此f(x）在[0，2]上连续，函数的图形如图1-12所示（2）f(x）在（-0，-1）与（-1，+80）内连续，在x==1处间断，但右连续.因为在x=-1处，limf(x)=limx=-1,f(-1)=-1,但lim f(x) = lim 1=1,即limf(α)+limf(x),函数的图形如图1-13所示川yx-1o1012图1-13图1-123.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类.如果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续：x?-1(1) y=+2-3x+2*x=1,x=2;3（h=0，±1，±2,）;,x=T,x=kT+(2) y:tanx2(3) y= cos? |,x=0;x
33第一章函数与极限[x-1,x≤],(4) x=1[3 -x,x>1,解（1）对x=1，因为f(1）无定义.但x2 -1(x-1)(x+1)=limx+1lim=lim-2-2-3x+21-(x-2)(x-1)1x-2所以，x=1为第一类间断点（可去间断点），重新定义函数：x2-1x+1,2,2-3x+2fi(x)=-2.x=1,则f（x）在x=1处连续因为limf（x）=0，所以x=2为第二类间断点（无穷间断点）xX=lim-=1，所以x=0为第一类间断点（2）对x=0，因为（0）无定义，limotan x1-0X（可去间断点），重新定义函数：xAx+k,+tanx2(keZ),fi(x) =[1.x=0则f（x）在x=0处连续，Y对x=k（k=±1，±2，..），因为lim，所以x=k元（k=±1，±2，.）为tanx第二类间断点（无穷间断点）×_=0,而函数在k+号处无定义，所以×=对x=k+(keZ)，因为lim2kwglanx2晋（heZ）为第一类间断点（可去间断点），重新定义函数：k+-2+x*h,kn+2tanxf2(x)=(heZ),T0,x=km+-2(keZ)处连续则J2（x）在x=+2(3）对x=0,因为1limcos2及1imcos2一均不存在，所以×=0为第二类间断点。X.l（4）对x=1，因为lim（x）=lim（3-x）=2，limf（x）=lim（x-1）=0,即左、右极限存在，但不相等，所以x=1为第一类间断点（跳跃间断点）：注在讨论分段函数的连续性时，在函数的分段点处，必须分别考虑函数的左连续性和右连续性，只有函数在该点既左连续，又右连续，才能得出函数在该点
34一、《高等数学》（第七版）上册习题全解连续1-x2h4.讨论函数（x）=limx的连续性，若有间断点，则判别其类型*1+r2n解1xI>1.-x,1 - x2#f(x)=lim0,1x=1,1+x2mxx,1x1<1.在分段点x=-1处，因为limf(x)=lim(-x)=1,limf(x)= lim x=-1,limf(x）≠limf(x）所以x=一1为第一类间断点（跳跃间断点）在分段点x=1处，因为limf(x)=limx=1,limf(x)=lim(-x)=-1,limf(x）+limf(x）所以x=1为第一类间断点（跳跃间断点）。5.下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由：如果是错的，试给出一个反例（1）如果函数f（x）在a连续，那么（x）1也在a连续：（2）如果函数1f（x）1在a连续，那么f（x）也在a连续解（1）对.因为If(x)l-lf(a)Il≤lf(x)-f(a)l-→0(x-→a),所以|(x）1也在a连续（2）错.例如I.x≥0f(x)1，x<0.则1f（x）1在x=0处连续，面/（x）在x=0处不连续*6.证明：若函数f（x）在点xo连续且f（xo）≠0，则存在xo的某一邻域U（xo），当xEU(x）时(x）￥0xo）>08>0x证若（xo）>0，因为f（x）在xo连续，所以取=xo），即U(x0,)时,有1f(x）-f(x0）1<(x）(x)0<-(x0)