第一章15函数与极限laln2+a所以V>0不妨设要使取&.即n412n28/n2+a2n2+a2则当n>N时，就有Ke即lim1nn（4）因为[0.9999-1|=，要使10.99-118，只要一<e.即10″10″1，所以V>0（不妨设e<1)，取N=[1g]则当n>N时，就有10.9999-11<n>lg8.即lim0.999...9=1.6.若limu，=a，证明limlu,1=lal.并举例说明：如果数列1x,！1有极限，但数列x，未必有极限证因为limu,=a，所以Vg>0，日N，当n>N时，有lun-al<e，从而有llu,l-lall≤lu,-al<e,故lim|u,1=lal.但由limlu，1=lal并不能推得limu。=a.例如，考虑数列1（-1）"，虽然liml（-1）"|=1，但1（-1）"没有极限，7.设数列1x，1有界，又limy=0，证明：limxnyn=0.证因数列1x有界，故日M>0，使得对一切n有1xl≤M.Ve>0，由于limy>0.3N，当n>N时，就有Iy,I<e1三从而有0.故对81VMIxya-01=lx,1-ly,l<M.=8M所以lim x,yn =0.8.对于数列/x。/，若x2-1→a(k→），x2ka（k-），证明：x-a（n00）证因为x2k-1a（→），所以Vg>0，日，当>，时，有1x2k--al<e；又因为x2h-a（→），所以对上述>0日2，当>kz时，有lx2=al<记K=maxikl，kzl，取N=2K，则当n>N时，若n=2k-1，则k>K+>k,=lx,-al=1x2k-1-al<e,若n=2k.则k>K≥k2=1xn-al=lx2h-al<e.从而只要n>N，就有lxn-al<e，即limx=a
16、《高等数学》（第七版）上册习题全解习题1-3函数的极限1.对图1-8所示的函数（x），求下列极限，如极限不存在，说明理由，(1) limf(x);(2) limf(x);(3) limf(x).解（1)limf(x）=0.(2) limf(x) = - 1.（3）limf（x）不存在，因为f（0+）≠f（0-）2.对图1-9所示的函数f（x），下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？川y=f(x)=f(x)x图1-8图1-9（1）limf（x）不存在；(2)limf(x)=0;(3) limf(x) =l;(4)limf(x)=0;（5）limf（x）不存在；（6）对每个x。E（-11），lim/（x）存在解（1）错，limf（x）存在与否，与f（0）的值无关事实上，limf（x）=0（2）对，因为F（0+）=f（0-）=0（3）错，lim（x）的值与（0）的值无关（4）错，f（1+）=0,但f（1=）=-1，故limf（x）不存在，（5）对，因为f（1=）≠（1+）(6）对.3对图1-10所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？
17第一章函数与极限=(x)2x01图1-10(1)limf(x)=1;（2）limf（x）不存在；(3)lim(x)=0;(4)limf(x)=l;(5) limf(x)=1;(6)limf(x)=0;(7)limf(x)=0;(8)limf(x）=0.解（1）对.（2）对，因为当x<-1时f（x）无定义（3）对，因为f（0+）=f（0-）=0.（4）错，limf（x）的值与/（0）的值无关(5）对(6)对.(7)对.（8）错，因为当×>2时，（×）无定义，（2+）不存在1xX当x—→0时的左、右极限，并说明它们在×-→0时的极限是,9(x)=4.求f(x）=Y4否存在limJ(x）=lim==lim1=1,lim(x）=lim==lim1=1.解XX+因为limf（x）=1=lim（x），所以limf（x）=1IxlIxl-x=lim-lim(x)=lim=1,limp(x)=lim=lim-140xx1--0因为lim（x）±limp（x），所以lim（x）不存在，5.根据函数极限的定义证明：(1)lim(3x-1)=8;(2)lim(5x+2)=12;
18、《高等数学》（第七版）上册习题全解1 -4x2x2 4(3) lim(4)lim4;22x+12x+2-解（1）因为1(3x-1)-81=13x-91=31x-31要使1（3x-1）-81<8，只要1x-3<号，所以Ve>0，取8=号=，则当0<1x-31<83时，就有1（3x-1）-81<，即lim（3x-1）=8(2)因为1(5x+2)-121=|5x-101=5/x-2要使|（5x+2）-121<e，只要1×-21<E，所以V8>0.取8=-则当01x-2/<8时，就有1（5x+2）-121<8，即lim（5x+2）=12.（3）因为x-→-2,x丰-2，*2-4-(-4)=1x-2-(-4)1=|x+2I=1x-(-2)1x+2要使2-4-(-4)<E+2只要x-（-2）1<e.所以Ve>0,取8=，则当01x-（-2）1<8时.就有12-44- (-4)<EX+2x2-4即lim4x+21（4）因为x2214x2-22= [1 -2x -2|= 2 -(-)2x+1要使1-4x2<e2x+1号，所以Ve>0,取8=号则当0-（-)<8时，就有只要×-(-号)[1 4x22x+11 4x2即lim=22x+1*6.根据函数极限的定义证明：
19第一章函数与极限1 + x31sin x=0(1)lim(2)lim2x3/x11+x31+x31证（1）因为要使E，只要142/x/3)222x32x3111即|x1所以>0,取X，则当1xl>X时，就有<.2/x/3V2V2e1 + *31 +x311即lim622x322x3sin xsinx<6，只要！110，要使1（2）因为<e,即x>，所以VxVxJxx8sinxsin ×=0.Ve>0.取X=，则当x>X时，就有<e.即limVxex*7.当x-→2时，=×24.问8等于多少，使当1x-21<8时，1y-4l<0.001？解由于x-2,1x-21-0,不妨设lx-21<1即1<x<3要使1x2-41=1x+211x-21<51x-21<0.001，只要1 x - 2 / <0. 001=0.0002,5取6=0.0002，则当0<1x-21<8时，就有1x-41<0.001注本题证明中，先限定1x-21<1，其目的是在1x2-41=|x+21×-21中，将1x+21放大为5.从而去掉因子1x+21,再令51x-2<8，由此可以求出1x-21<号，从而找到8.这在按定义证明极限时，也是经常采用的一种方法，5x2 -1*8.当x-时y+1.问X等于多少，使当lxl>X时，1y-11<0.01？x2+3x2-144x2-1<0.01，只要4解因为要使42,x2+332+3+3x20.01，即|xl>20，取X=20，则当1xl>X时，就有1y-11<0.01*9.证明函数（x）=1×1当×-→0时极限为零证因为11x1-01=x1=1x-01所以V>0,取8=6,则当0<[x-018时，就有1|x/-01<e，即limlx|=010.证明：若%-+80及x→-α8时，函数（x）的极限都存在且都等于A，则lim/(x)=A.证因为limx）=A，所以Ve>0，3X，>0,当x>X，时，就有I(x)-AI<E.又因为lim（x）=A，所以对上面的e>0，日X,>0，当x<-X，时，就有If(x)-AI<E