10一、《高等数学》（第七版）上册习题全解解当0≤t≤1时，S（t）=(2 -0)2= -号 +21 -1,当1<1≤2时，S(）=1-22当t>2时，S(t）=1故10瓜I瓜一,2S(t) =12+21-1, 1<1≤2,(1,t>2.16.求联系华氏温度（用F表示）和摄氏温度（用C表示）的转换公式，并求（1）90°F的等价摄氏温度和-5°C的等价华氏温度：（2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那么该温度值是多少？解设F=mC+b,其中m，b均为常数因为F=32°相当于C=0°F=212°相当于C=100°所以212-32=1.8b=32.m=100J故F=1.8C+32或C=(F-32).95(1)F=90°,C=(90-32)~32.2°9C=-5°,F=1.8×(-5)+32=23°（2）设温度值符合题意，则有1=1.8t+32,t=-40即华氏－40°恰好也是摄氏-40°17.已知Rt△ABC中，直角边AC、BC的长度分别为20、15，动点P从C出发，沿三角形边界按C→B-A方向移动：动点Q从C出发，沿三角形边界按C-→AB方向移动，移动到两动点相遇时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍.设动点P移动的距离为x，△CPQ的面积为y，试求y与x之间的函数关系解因为AC=20,BC=15，所以，AB=202+152=25由20<2·15<20+25可知，点P、Q在斜边AB上相遇令x+2x=15+20+25，得x=20.即当x=20时，点P、Q相遇.因此，所求函数的定义域为（0,20）.（1）当0<x<10时，点P在CB上，点Q在CA上（图1-5）
第一章函数与极限11由IcPI=x，ICOI=2x，得y=x2.（2）当10≤x≤15时，点P在CB上，点Q在AB上（图1-6）ICPI=x,1A0I=2x-20设点O到BC的距离为h，则hIBQI452x2025254（45-2x）.故得h52142+18x.x(45-2x):-xh =y255（3）当15<x<20时，点P0都在AB上（图1-7）.BBA图1-5图1-6图1-7IBPI=x-15,1AQ1=2x-20,1PQ=60-3x设点C到AB的距离为h，则15·20h'==12,25得-IPQ1-h=-18x+360.2综上可得x20<x<10,4元2+18x，10≤x≤15,y=5-18x+360,15<x<2018.利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据①以及指数模型来推测2020年的世界人口，①这里世界人口数据是指每年年中的人口数
12一、《高等数学》（第七版）上册习题全解年份人口数（百万）年增长率（%）20086708.21.16620091.1406786.420106863.81.12120116.940.71.10720127017.51.10720137095.2解由表中第3列，猜想2008年后世界人口的年增长率是1.1%，于是，在2008年后的第t年，世界人口将是p（t）=6708.2×（1.011）（百万）2020年对应t=12，于是p（12）=6708.2×（1.011)12~7649.3（百万）76（亿）即推测2020年的世界人口约为76亿习题1-2数列的极限1，下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察x，的变化趋势，写出它们的极限：(1) ()(2) [(-1)"];(3) [2+);(4)[);[2"-16)(5) (n(-1)"};3#(8)[[(-1)"+1]"+1(7) [n--(1）收敛，liml解=0.-2n(2）收敛,lim(-1)"二=0.（3）收敛，lim（2+=2n-l（4）收敛，lim=1an+l(5）1n（-1)"发散
13第一章函数与极限(6）收敛，lim2"—=0.3″7)发散-1)"+1n+1发散（8)2.（1）数列的有界性是数列收敛的什么条件？（2）无界数列是否一定发散？（3）有界数列是否一定收敛？解（1）必要条件（2）一定发散（3）未必一定收敛，如数列（-1）"1有界，但它是发散的3，下列关于数列x，的极限是a的定义，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，试说明理由：如果是错的，试给出一个反例(1）对于任意给定的e>0,存在NeN.，当n>N时，不等式x,-a<e成立；（2）对于任意给定的ε>0.存在NN.，当n>N时，有无穷多项x，，使不等式Ix,-al<e成立：（3）对于任意给定的e>0,存在NeN+，当n>N时，不等式Ix,-al<ce成立，其中c为某个正常数：(4）对于任意给定的meN，存在NeN，当n>N时，不等式Ix-al<一成立，解（1）错误.如对数列（-1)"+，a=1.对任给的e>0（设e<1),存在N=当n>N时，（-1)"+-1≤<6,但[（-1)”+)的极限不存在nn（2）错误.如对数列n=2k-1,NkeN+,a=l.:n=2k,对任给的e>0（设e<1)，存在N=，当n>N且n为偶数时，lx,-al=成立，但，的极限不存在（3）正确.对任给的e>0,取一e>O按假设，存在NEN+，当n>N时，不1等式lx.-al<c.=e成立
14、《高等数学》（第七版）上册习题全解（4）正确.对任给的ε>0.取mEN使<&.按假设，存在NeN.当n>N时，不等式1x-al<<8成立m1os.问limx=？求出N，使当n>N时，，与其4.设数列1x的一般项x，=co21极限之差的绝对值小于正数e.当&=0.001时，求出数N.解limx，=0.证明如下：因为1nT1Ix.-01cos2nn/要使1x,-01<8，只要一所以V>0（不妨设<1），取N=<E.即n>2当n>N时，就有lx-0l<g当e=0.001时，取N==1000.即若=0.001，只要n>1000，就有1x,-01<0.001*5.根据数列极限的定义证明：3n+1.31(1) lim-=0;(2)lim*2n+1"2;*"n2n?+a?(3)lim(4)limo.999...9=1.=1;n0t111-0证（1）因为要使<e只要n>所以Ve0（不妨设e<1）42n2Ve110取N则当n>N时，就有<e.即lim=022313n+13/13n+1，要使<e只要<e.即（2）因为2n+124n2n+1222n+1）4n1（不妨设一.取N=，则当n>时，就有所以>0n>4g3n+133n+13<e，即lim*2n+1=22n+12注本题中所采用的证明方法是：先将1x，-α1等价变形.然后适当放大，使N容易由放大后的量小于ε的不等式中求出.这在按定义证明极限的问题中是经常采用的（3）当a=0时，所给数列为常数列，显然有此结论.以下设a≠0.因为aa2n+a?/n2+a?2n2nnn(n'+a+n)