5第一章函数与极限(2)y=x+lnx.(0.+)证（1）y=f(x）80.1)1设<<1.因为11f(x2）-(x）>01 - x21 -x,(1 - x )(1 - x2)所以x）>(x），即(）在（-00，1)内单调增加(2)y=f(x)=x+lnx,(0,+).设0<<x2.因为12>0(2)-f(x）=x+Inx2-x-Inx=x2-x+InX1所以x）>（x），即f（）在（0，+）内单调增加5.设F(x）为定义在（-1,1)内的奇函数，若(x）在（0,1)内单调增加，证明(x）在（-1.0）内也单调增加证设-1<xx0,则0-x-l由(x）是奇函数，得）-f(x）=-f(-x）+F（-x）.因为F（x）在（0,1）内单调增加,所以（-）-F（-x2）>0,从而f(x2）>f(x），即(x）在（-10)内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间（-1,1)上的.证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数证（1）设（x）J2（x）均为偶函数，则J（-x）=/（x）2（-x）=f2（x）.令F（x）=f（x）+f（x），于是F(-x)=(-x)+J2(-x) =fi(x)+f2(x)=F(x),故F（x）为偶函数设gi（x），g2（x）均为奇函数，则gi（-x）=-gl（x）B2（-x）=-g2（x）.令G(x)=g,(x）+g2(x),于是G(-x)=gi(-x)+g2(-x)= -gl(x)-g2(x)=-G(x),故G(x）为奇函数（2）设（x）J2（x）均为偶丽数，则（-x）=（x）J2（-x）=（）.令F（x）=J（x）J2（x）.于是F(-x)=(-x) ·J2(-x)=fi(x)2(x)=F(x),故F（x）为偶函数设g（x），g2（x）均为奇函数，则g（-x）==gl（x），g2（-x）==g2（x）.令G(x)=g(x）·g2(x).于是G(-x)=gr(-x)·g2(-x)=[-gi(α)][-g2(x))
6一、《高等数学》（第七版）上册习题全解=gi(x) - g2(x) =(x),故Gx）为偶函数设f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，则f（x）=f（x），g（-x）=-g（x）.令H(x）=f(x）：g(x),于是H(-x)=f(-x)·g(-x)=f(x)[-g(x))=-f(x) g(x)=-H(x),故H(x)为奇函数，7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？(2) y=3x2 -x;(1) y=x2(1 -x2);(3) y=1 -x2(4)y=x(x-1)(x+1):1++2;(6) y=* +α**(5)y=sinx-cosx+l;2解（1）y=f(x）=x(1-x），因为f(-x) =(-x)[1-(-x)2] =x2(1 -x2) =f(x),所以f（x）为偶函数(2）=f(x）=3x2-x,因为f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3f(-x)(x），且f(-x)±-f(x),所以（x）既非偶函数又非奇函数(3) y=f(x) =1-21++2.因为( -x) =1-(-x)2_ 1-x2=(x），1 +(-x)2"1+x2所以f（x）为偶丽数（4）y=f(x）=x(x-1)（x+1）,因为f(-x)=(-x)[(-x)-1[(-x)+1)= -x(x+1)(x-1) = -f(x),所以（x）为奇函数（5）y=f(x）=sinx-cosx+l,因为f(-x)=sin（-x)-cos(-x)+1=-sinx=cosx+1（x）(）且（—x-）所以（x）既非偶函数又非奇函数，，因为（-)=+a(6) y=(x)= +α-*=八（x），所以（x）为偶函数228.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(2）y=cos4x:(1)y=cos(x-2);(4)y=xcos x;(3)y=1+sin Tx:
7第一章函数与极限(5)y=sin?x.解（1）是周期函数，周期1=2元.（2）是周期函数，周期1=2（3）是周期函数，周期【=2.（4）不是周期函数（5）是周期函数，周期1=T.9.求下列函数的反函数：(1)y= /x+I:(2)yax+b(3) y=(4)=2sin 3x(≤x（ad-bc±0）；cx+d62*(5)y=1+ln(x+2);(6) y=2+1分析函数存在反函数的前提条件为：f：D一fD）是单射.本题中所给出的各函数易证均为单射，特别（1）（4）、（5）、（6）中的函数均为单调函数，故都存在反函数解（1）由y=x+1解得x=y3-1,即反函数为y=x3-1.1-x！-解得×-,即反函数为（2）由=1+x1+y1+3（3）由y=ax+b敏解得x=岁，即反函数为=cx+dcy-acx-a1TTTY(4）由y=2sin3x≤x解得x，即反函数为arcsin66O21xaresiny=32（5）由y=1+ln（x+2）解得x=ey-1-2,即反函数为y=et-1-2.2*2，即反函数为y=log2-x（6）由y：解得x=1og212*+110.设函数（x）在数集X上有定义，试证：函数（x）在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界解设f（x）在X上有界，即存在M>0，使得If(x)I≤M,xeX,故-M≤f(x)≤M,xEX,即f(x）在X上有上界M下界-M.反之，设x）在X上有上界K，下界K2，即K,≤(x)≤KI,XEX
8一、《高等数学》（第七版）上册习题全解取M=max/IK,1,IK,11，则有If(x)I≤M, xEX,即fx）在X上有界.11.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值x，和x2的函数值：TTT(1)y=u,u=sin x,x)6x23TT(2)y=sin u,u=2,=号.*2=年：(3)y=/u,u=1+x2,xi=1,x2=2;(4)y=e",u=x2,x =0,x,=l;(5)y=u?,u=et,x=l,x2=-1.13解（1)y=sinx,i==-2=V222=1(2) y= sin 2x,y1 =(3)y=/1+x,1=/22=/5(4) y=et,yi=l,y2=e.(5) y=e2*,y1=e?,y2=e-212.设(x）的定义域D=[01]求下列各函数的定义域：(1) f(x2) ;(2)f(sinx):(4)f(x+a)+f(x-a)(a>0).(3)f(x+a)(a>0);解1)0≤≤1=xE[-1.1](2)0≤sinx≤1=xE[2nT,(2n+1)π],nEZ(3)0≤x+a≤l=→xE[-a,1-al.r0≤x+a≤l,11时，xe[a，l-a]：当a>时，定义域为①当0a(4)20≤x-a≤113.设Ixl<1,.0.Ixl =1, g(x) =etF(x)=-1.Ix1>1,求几g（x）和g［（x）1，并作出这两个函数的图形1. x<0.0,x=0,解fg(x)J=f(e*)=-1,x>0
9第一章函数与极限1xl <1,re,g[(x)]=e(x)=Ixl =1,1(e-lIxI >1.几g（x）与g[f（x）的图形依次如图1-2，图1-3所示，yAYAC2x0x-10图1-2图1-314.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角Φ=40°（图1-4）.当过水断面ABCD的面积为定值S。时，求湿周L(L=AB+BC+CD）与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域.图1-4h解：AB=CD=sin40°，又-h[BC+（BC+2cot40°:h)],So:7得SoBC =.cot40o.h,h所以So2- cos 40°Lhsin40°So而h>0且cot40°·h>0，因此湿周函数的定义域为（0，/S。tan40°）h15.设x0y平面上有正方形D=/（x，y）10≤x≤1.0≤y≤11及直线lx+y=t（t≥0）若S）表示正方形D位于直线I左下方部分的面积，试求S（）与t之间的函数关系