14.(2007,数三、数四，4分)设某商品的需求函数0=160-2P,其中0， P分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格 是(). (A)10 (B)20 (C)30 (D)40 分析：此题是微积分在经济学中的应用，需要掌握经济学中的一些术语，商 品需求弹性-巴.2 dP o 解：由题意知， 架-2，所以21.即Q=2p与已知Q=160-2P可 以求得P=40.所以正确答案是①). 15.（201,数三、数四.4分)设函数"=2x+3则(0= 分析：求函数的高阶导数一般常用的方法是先逐次求导，然后寻找规律. 解：y=「(2x+3)1门=-21(2x+3)2, y"=22.2(2x+3)3, y"=-2.3(2x+3) y4=2.4(2x+3), . y=(-1)”2”nk(2x+3)-1, y(0=2” 1+1 16.(2006,数二，4分)设函数y=(x)由方程y=1-xe确定，则 分析：此题可以通过对方程两边求导从而求得隐函数的导数 解：对方程两边关于x求导，得 y=e+en即密 e
由已知同袋0=1，所以安e 17.(2006,数三、数四，4分)设函数f(x)在x=2的某领域内可导，且 f'(x)=ew,f(2)=1,则f"(2)= 分析：可以用复合函数的求导解决此题 解：f"()=emf()=「e, "()=2en.[en]=2e.m.f(x)=2[er], 所以f^(2)=2[e]了=2e 1设(06，数三、数闪，4分)设酒数70在x-0处连续，且回-1 则(). (A)f0)=0且f'(0)存着 (B)f0)=1且f上(0)存者 (C)f0)=0且f'(0)存着 (D)f0)=1且f'(0)存着 分析：可以利用函数在一点处可导的定义解决此题注意如果极限存着而分 母是个无穷小量，那么分子也必定是个无穷小量。 解：因为回作在，所以▣)-0 而函数fx)在x=0处连续，所以f(0)=limf(n)=0. ▣@-0g▣-f0-0. 月2 所以正确答案是(C) 设e,数4分设数-由参数方然队自完则 曲线y=(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(）. 0gn2+3 )-gh2+3 (C)-8n2+3 (D)8n2+3 分析：可以利用参数方程先求出函数在x=3处的导数，进而求出法线的斜
率，最后求出法线及其与x轴交点的横坐标， 会2音接李嘉如西 1 由x=产+21，x=3,得1=1或1=-3（不合题意，舍去），yl1=ln2. 密日所以在x3处的法线的斜奉为8，法线方程为 y-ln2=-8(x-3), 所以法线与x轴交点的横坐标是。山2+3，正确答案是(A). 20.(2005,数三、数四，4分)以下四个命题中，正确的是(). (A)若f"(x)在(0，)内连续，则f(x)在(0.)内有界. (B)若f(x)在(0.)内连续，则f(x)在(0,1)内有荞. (C)若f"(x)在(0，)内有界，则fx)在(0，内有界 D)若f(x)在(0,1)内有界，则f'(x)在(0，)内有养. 分析：可以通过举反例采用排除的方法 解：若fx)=上，则、f)在(0，)内都连续，但了)在0，)内却无界， 所以)、)不正确若=丘，则在0，)内有界，f(国=2友·显然 在(0，)内无养，所以①)也不正确.正确答案只能是(C)
第三章：微分中值定理与导数的应用 (一)考研基本要求（本章考研大纲内容） 考试内容： 微分中值定理、洛必达L'Hospital)法则、泰勒(Taylor)公式、函数单调性、曲线 的凹凸性、拐点及浙近线、函数的极值、函数最大值和最小值、函数图形的描 绘。 考试要求： 1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。了解并会用柯西中值 定理。 2、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 3、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法， 学握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 4、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直渐近 线，会描绘函数的图形。 5、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 (二)考研试题选解 1、(2004年，数一，4分)设函数f(x)连续，且f"(0)>0,则36>0，使(). A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(-6,0)内单调减少 C.对x∈(0，)有f(x)>f0)D.对x∈(-6,0)有fx)>f0) 解：根站定义证，了0=回0,0，由保号性定理得36>0，当 x-0 x∈0，)时，-/0>0，即f)-f0)>0,亦即f>0,故选C 2、(2002年，数三，4分)设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b) 内可导，则(). A.当f(a)fb)<0时，存在5∈(a,b),使f(5=0 B.对任何5∈(a,b)有1imfx)-f(5】=0
C.当f(a)=f(b)时，存在5∈(a,b),使f"(5=0 D.存在E∈(a,b),使f(a-fb)-f(5b-a) 解：由于f(x)在(，b)内可导，可知它在这个开区间的每一点5都连续，即 limf(x)-f(5)=0,故应选B. 3、（207年，数，4分)商线)-十l+e,渐近线的条数为() A.0 B.1 C.2 D.3 解：m+h+e=im+limn+e=0+0=0,y=0为曲线的水 平渐近线 m+h+c】=画+ma1+c】=o,即x=0为曲线的铅直新近线。 1+ln0+e) 如=典-m。”-时0 000o品 b=i-a时-mthd+e)-对=0文+mad+c- 世0+im+e)-刘拉格阴日中值定理m0.。<z<e+1 即y=x为曲线的斜渐近线故选D. 4、(2000年，数二，4分)设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f"(x)-x,且 f'(0)=0,则(). A.f(O)是fx)的极大值 B.fO)是f(x)的极小值. C.点0，f0)是曲线y=fx)的拐点. D.fO)不是fx)的极值，点(0，fO)也不是曲线y=fx)的拐点 解：因为f'(0)=0,由原关系式f"(x)+[f"(x)=x知f(0)=0因此点