(0.f(0)可能为拐点。 由f”(x)=[f'(x)+x,知f(x)的三阶导数存在，且 f(x)=-2f"(x)f"(x)+1,故f"(0)=1. 因此在x=0的左侧，f(x)<0,对应曲线是四上凸)的：而在x=0的右侧， ()>0,对应曲线上是上凹（下凸）的 故点(0.f(0)是曲线y=f(x)的拐点. x2 5、(2010年，数，4分)极限x-8x+b=（） A.1 B.e C.e" D.e -+=▣ x2 im (x-a)(x+b)2x(x-a)(x+b)-x2(2x+b-a) -lim- (x-a)2(x+b) lim-(b-a)(a-b) (x-a)(x+b) x2 lim a 6、(200年，数二，4分mn0+2x) arctanx-x 解：原式 lim arctanx二s洛必达m中=im60+r巧仰60方= =2 1 1 7、(204年，数二，4分)设函数由参数方程r=+3+1确定，则曲 y=f-3f+】 线y(x)向上凸的x取值范围为
解： x=产+3+1.dy32-32-1 y=-31+132+32+i 是-品安0<01<0. 4 41 则满足条件的x的取值范围(-0,1). 8、(207年，数二，4分)im arctan-snx 解：这是一个。型极限，首先考虑用洛必达法淡较为复杂，再由分子的三角 函数形式使用泰勒展示。 原式=lim 号0-于w》n若+的 -6 g0s年数，4分》线y-2的线程为 r- 解k=职2-m2-恤0方 x21 6-=-250- ，x2 所鱼线一的斜清近线方程为y宁一号 10、(20,数二10分)设0a<b,E别不等式76<h会-2<而 证明：先证2a<血6-na设f)=nx>a>0根据拉格期日中值 定理得h60=仙儿，产a<5创。 6-a 2a 再th8-设-层-h+ha>a>0.则o=0.且
= a)-1_G->0,于是p)>0→()是单调递增 a2不*2x2xm 的→当x>a>0时，p(x)>pa=0. 特别地，令x=b,则有)>0，即hh-n0<1 b-a ab 11、(2005年，数一，10分)己知函数f(x)在0，】上连续，在(0,1)内可导， 且f(0)=0,f0)=1,证明：(1)存在5∈(0,1)，使得f(5=1-5:(②)存在两个不 同的点n,5∈(0,1)使得f"()f'(5)=1 证明：(1)令g(x)=f(c)+x-1,则g(x)在[0，]上连续，且g(0)=-1<0, g=1>0,则存在5∈(0，)使得g(5)=f(5)+:-1=0,即f(5)=1-5: (②)由拉格朗日中值定理，存在n∈(0，5∈(5，)使得 f)=f5-f0-1-5 1-5 1-51-5 从面/)-号品 12、(2005年，数-，10分)设函数fx,g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具 有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：存在5∈(a,b), 使得f(5)=g"(5) 证明：由题意x,x∈(a,b)使得 mf)=f人mag)=g,则f(G)=g).不妨设x≤5，令 F(x)=f()-g(),则F(x)=f(x)-g(x)=g()-g(x)20, F(x2)=fx)-g(2)=fx,)-f(x)≤0 由介值定理：3x∈[，x]使得F(x)=0,则F(a)=F(x)=F(b)=0:
由罗尔定理：5e(a,x),点∈(x。,b)使得F'(5)=F'(5)=0. 再对F'(x)在(5,5)上应用罗尔定理5e(5,)c(a,b)使得F"(5)=0, 即∫(5)=g"(5). 13、(2011年，数一，10分)求方程k arctan x-x=0不同实根的个数，其中k 为参数. 解：今f0w)=karctanx-x,fW)=k-1=x 1+x2 (1)当k-1≤0，即k≤1时，'(x)≤0（除去可能一点外'(x)<0),所以f(x) 单调减少，又因为imx)=+o,imf(x)=o,所以方程只有一个根. (2)当k-1>0,即k>1时，由"(x)=0得x=±-， 当x∈(-0，-√k-)时，f'(x)<0,当x∈(-√R-,√k-i)时，f'(x)>0, 当xe(Nk-l,+o)时，f'(x)<0 所以x=-k-为极小点，x=√k-为极大点. 极小值为-k arctan k-+√k-i为，极大值为k arctan k-i-k-i, 令k-i=t,当k>1时，t>0.令 g(t)=k arctan vk-l-√k-I=(l+t2)arctan t-t,，显然g(0)=0,因为 g'(0=2 tarctant>0,所以g)>g(0)=0(当t>0),即k arctan k-i-√k-i>0 又因为1imfx)=+o,im(x)=-o,所以方程有三个根，分别位于(-o,-k-), (-√k-i,k-i),(k-1,+0内. 14、(2011年，数一，10分)证明：对任意正整数n,都有1 证明：令fw)=1+)在D,白应用中值定理： m时-
0<<1, 1 分<，即：<<1，故不等式2 1 n 15、(208年，数-，10分)求极限im5imX-sim(sinx小smx 解：mSx-sin(6nx5小sinsinimsinx-s血sinx水 =smX-nsml,g=mles-ouinx)cox]=回l-oan刘 3 3x2 3x2 -血n对ec-四n0-吗ogeo到- 6x 6x 6 6