证](2)用导数定义证明 任取x∈a,b,x+Ax∈{a,b 由(1),有F(x)=lim F(x+4r)-F(x) A→>0 x+Ar n f(tdt Ax-÷0x f(x)∈CI,b利用积分中值定理得至 x+Ar F(x=lim f(tdt= lim f() Ax→>0Ax Ax→0 占介于x与x+4x之间 f∫(x) 2014x→>0→5>x
2021/2/20 6 x F x x F x F x x ( ) ( ) (1), ( ) lim 0 + − = → 由 有 + → = x x x x f t dt x ( ) 1 lim 0 [证] (2) 用导数定义证明 任取 x[a, b], x + x[a, b] f (x)C[a, b],利用积分中值定理得到 ( ) lim ( ) 1 ( ) lim 0 0 f t dt f x F x x x x x x → + → = = = f (x) x x x x x → → + 0 介 于 与 之 间
x 「例求(1) er;(2) eldt 解]因为e是连续函数所以有 e'dt =e 令 u= 2x= exe 2021/2/20
2021/2/20 7 2 1 1 [ 1] (1) ; (2) x t x t e dt dx d e dt dx d 例 求 因为e x 是连续函数,所以有 x x t e dt e dx d = 1 (1) = 2 1 (2) x t e dt dx d 2 2 2 u x = e x = xe dx du e dt du d u t [ ] 1 [解] 2 令 u = x
2 「例2求 e at dx 解 dt=ledt+ ∫ e dt dt dt at e dt d x db =2xe2-(-3x2)e=2x2+3xe 2021/2/20
2021/2/20 8 − 2 3 [ 2] x x t e dt dx d 例 求 = + − − 2 3 2 3 1 1 x t x t x x t e dt e dt e dt 2 3 2 ( 3 ) x 2 x xe x e − = − − − = − − 2 2 3 3 1 1 x t x t x x t e dt dx d e dt dx d e dt dx d 2 3 2 2 3 x x xe x e − = + − = − 2 3 1 1 x t x t e dt e dt [解]
0 「例3设由方程「e+ sindt=0 能确定隐函数y=p(x),求可 解]方程两边对求导得到 dy 么Si=0 解出,得 注意]变上限定积分给出一种表示函数的方 法,对这种函数也可以讨论各种性态 2021/2/20
2021/2/20 9 ( ), . [ 3] sin 0 0 2 0 2 dx dy y y x e dt t dt x y t 能确定隐函数 求 例 设由方程 = + = − 方程两边对x求导,得到 sin 0 2 2 − = − x dx dy e y 解出 ,得 dx dy 2 sin 2 e x dx dy y = [解] [注意] 变上限定积分给出一种表示函数的方 法，对这种函数也可以讨论各种性态
例4设参数方程x= sin idT,y= cos idT 确定函数y=y(x),求 dy day 2 「解 dy y(t) cos t cot t x x'(t) sint d d ()r(cott dx x'(t) sint sin t 2021/2/20
2021/2/20 10 ( ), , . [ 4] sin , cos 2 2 0 0 dxd y dx dy y y xx d y d t t 确定函数 求 例 设参数方程= = = = = ( ) ( ) x t y t dx dy = = ( ) ( ) 2 2 dx x t d y dx t dy t t t cot sin cos = − − = − tt t sin ( cot ) t 3 sin1 [ 解 ]