§5同态与同构 21 总有 ab莲·库 亦即ab=瑤踌或中(ab=(a)中(b),则称中为M到M的一 个同态映射 如果M到M存在同态满射时，则简称M与M同态，记为 MM. 例1令M是数域F上全体n阶方阵作成的集合，代数运 算是方阵的普通乘法，再令M=F,代数运算是数的普通乘法 9 Φ：A|A 是M到M的一个同态映射，且是一个满射. 事实上，中是M到M的映射是显然的；又任取a∈M,则 a 1 A= ∈M, 1 且A)=|A=a,即中是满射， 又由于|AB=|A·IB,即有 (AB)=(A)·(B) 故Φ是M到M的一个同态满射· 定理1设集合M与M分别有代数运算与'，且MM, 则 )当满足结合律时，·也满足结合律： 2)当满足交换律时，·也满足交换律 证用中表示M到M的一个同态满射， 1)任取璇琏EM,由于中是满射，可令 ab琉c聊 又由于中是同态映射，故 (ab)c(ab)聊-疏瑜聊
总有 a b 珔a - 珔b, 亦即 a b=珔a - 珔b 或φ( a b) = φ( a) - φ( b) , 则称 φ为 M 到M的一 个同态映射 . 如果 M 到M存在同态满射时, 则简称 M 与 M同态, 记为 M～ M . 例 1 令 M 是数域 F 上全体 n 阶方阵作成的集合, 代数运 算是方阵的普通乘法; 再令 M = F, 代数运算是数的普通乘法 . 则 φ: A | A | 是 M 到M的一个同态映射, 且是一个满射 . 事实上, φ是 M 到M的映射是显然的; 又任取 a∈M, 则 A = a 1 w 1 ∈ M, 且 φ( A) = | A | = a, 即 φ是满射 . 又由于 | A B| = | A | · | B | , 即有 φ( A B) = φ( A) ·φ( B) , 故 φ是 M 到M的一个同态满射 . 定理 1 设集合 M 与M分别有代数运算 与 - , 且 M～ M, 则 1) 当 满足结合律时, - 也满足结合律; 2) 当 满足交换律时, - 也满足交换律 . 证 用 φ表示 M 到M的一个同态满射 . 1) 任取 珔a, 珔b, 珋c∈M, 由于 φ是满射, 可令 a 珔a, b 珔b, c 珋c , 又由于 φ是同态映射, 故 ( a b) c ( a b) -珋c= (珔a -珔b) - 珋c, §5 同态与同构 21
22 第一章基■本■概■念 a(bc璇bc=菇砟聊 但满足结合律，故(ab)c=a(bc,从而 陆陶聊瑤陈聊， 即·也满足结合律. 2)类似地，任取瑤M,且设 a疏，b珠 则有 ab琉琉 ba· 当满足交换律时，ab=ba,故亦有 琉琉琦‘瑤 即·也满足交换律 证毕) 定理2设集合M有代数运算及，集合M有代数运算 ·及；又中是M到M的一个满射，且对与·以及与同 态，则当对满足左右)分配律时，·对也满足左（右）分配 律 这个定理的证明方法同定理1完全类似，不再重复 定义2设中是M到M的一个（关于代数运算及）同态满 射.如果中又是单射时，则称中是M到M的一个同构映射. 如果集合M到M存在同构映射，就说M与M同构，记为 M≌M.否则，即若M到M不存在任何同构映射时，则称M与 M不同构. M到自身的同态映射，称为M的同态映射，或简称M的 自同态.同样，M到自身的同构映射，叫做M的同构映射 简称为M的自同构. 例2设M是整数集，M是偶数集，则映射 Φ：n2n 对M与M的普通加法来说，是M到M的一个同构映射，但对于 数的普通乘法来说，中不是M到M的同构映射
a ( b c) 珔a - ( b c) =珔a - (珔b -珋c) . 但 满足结合律, 故( a b) c= a ( b c) , 从而 (珔a -珔b) -珋c =珔a - (珔b -珋c) , 即 - 也满足结合律 . 2) 类似地, 任取 珔a, 珔b∈ M, 且设 a 珔a , b 珔b, 则有 a b 珔a - 珔b, b a 珔b - 珔a . 当 满足交换律时, a b= b a, 故亦有 珔a - 珔b=珔b - 珔a, 即 - 也满足交换律 . (证毕) 定理 2 设集合 M 有代数运算 及 , 集合 M有代数运算 - 及 ; 又 φ是 M 到 M的一个满射, 且对 与 - 以及 与 同 态, 则当 对 满足左(右) 分配律时, - 对 也满足左(右) 分配 律 . 这个定理的证明方法同定理 1 完全类似, 不再重复 . 定义 2 设 φ是 M 到M的一个( 关于代数运算 及 - ) 同态满 射 . 如果 φ又是单射时, 则称 φ是 M 到M的一个同构映射 . 如果集合 M 到 M存在同构映射, 就说 M 与 M同构, 记为 M ≌ M .否则, 即若 M 到 M不存在任何同构映射时, 则称 M 与 M不同构 . M 到自身的同态映射, 称为 M 的 同态映射, 或简称 M 的 自同态 . 同样, M 到自身的同构映射, 叫做 M 的 同构映射, 简称为 M 的自同构 . 例 2 设 M 是整数集, M是偶数集, 则映射 φ: n 2 n 对 M 与M的普通加法来说, 是 M 到 M的一个同构映射, 但对于 数的普通乘法来说, φ不是 M 到M的同构映射 . 22 第一章 基■本■概■念
§5同态与同构 23 例3令M是正有理数集，代数运算为普通乘法，则法则 是M的一个自同构，但对普通加法来说，中不是M的自同构 因为例如 2+3)=5)=} 然而2)+3)=支+分-音≠付，即 2+3)≠(2)+(3). 同构映射是比较两个代数系统的最有力的工具，它在整个近 世代数中起着非常重要的作用， 对任意代数系统M,因为M的恒等映射总是M到M的一 个同构映射，即M的自同构，故总有M≌M.其次易知，若代 数系统M与M同构，且 中：xy,即φx=y(”x∈M) 是M到M的一个同构映射，则易知中的逆映射 中'：yx,即中'(y以=x(”y∈M) 便是M到M的一个同构映射.因此，M与M同构 又若M与M同构，M又与M同构，且分别设T,o为 它们间的同构映射，则根据映射的合成知，乘积στ即 ot(x)=o(t(x)(”x∈M) 是M到M的映射且易知是M到M的同构映射，因此 M≌M 由于同构映射首先是一个双射，因此，相互同构的代数系统 有相同的势，特别，当这些代数系统有限时，它们包含的元素个 数必相等. 最后，再特别强调一下代数系统同构的意义」 设M=a,b,c…}是一个有代数运算的代数系统，而M=
例 3 令 M 是正有理数集, 代数运算为普通乘法, 则法则 φ: a 1 a 是 M 的一个自同构 . 但对普通加法来说, φ不是 M 的自同构, 因为例如 φ(2 + 3) =φ( 5) = 1 5 , 然而 φ(2 ) +φ(3 ) = 1 2 + 1 3 = 5 6 ≠ 1 5 ,即 φ( 2 + 3 )≠φ( 2) +φ(3 ) . 同构映射是比较两个代数系统的最有力的工具, 它在整个近 世代数中起着非常重要的作用 . 对任意代数系统 M, 因为 M 的恒等映射总是 M 到 M 的一 个同构映射, 即 M 的自同构, 故总有 M ≌ M . 其次易知, 若代 数系统 M1 与 M2 同构, 且 φ: x y , 即 φ( x) = y ( " x∈ M1 ) 是 M1 到 M2 的一个同构映射, 则易知 φ的逆映射 φ - 1 : y x , 即 φ - 1 ( y) = x ( " y∈ M2 ) 便是 M2 到 M1 的一个同构映射 . 因此, M2 与 M1 同构 . 又若 M1 与 M2 同构, M2 又与 M3 同构, 且分别设 τ, σ为 它们间的同构映射, 则根据映射的合成知, 乘积στ即 στ( x ) =σ(τ( x ) ) ( " x∈ M1 ) 是 M1 到 M3 的 映 射且 易 知是 M1 到 M3 的 同 构 映射 . 因 此, M1 ≌ M3 . 由于同构映射首先是一个双射, 因此, 相互同构的代数系统 有相同的势 . 特别, 当这些代数系统有限时, 它们包含的元素个 数必相等 . 最后, 再特别强调一下代数系统同构的意义 . 设 M = { a, b, c,…}是一个有代数运算 的代数系统, 而 M = §5 同态与同构 23
24 第一章基■本■概■念 陆琏聊…}是另一个有代数运算·的代数系统，如果M≌M, 且在这个同构之下如果 a冻b珠c聊… 则根据同构的定义，ab=c当且仅当菇ˉ聊.这就是说，除 去元素本身的性质和代数运算名称与所用符号的不同外，从运算 的性质看，M与M并没有任何实质性的差别.更具体地说，就 是由M仅根据代数运算所推演出来的一切性质和结论，都可以 自动地全部转移到与M同构的一切代数系统上去.因此，在近 世代数中常把同构的代数系统等同起来，甚至有时候不加区分 这正表现出这门学科所研究的问题的实质所在」 以上的同态映射与同构映射是只对有一个代数运算的代数系 统来说的，实际上也可以类推到有两个或两个以上的代数运算的 代数系统上去.对此不再赘述 习题15 1.设M为实数集，代数运算是普通乘法.问：以下各映射是否为M 的自同态映射？是否为自同态满射和自同构映射？说明理由， 1)x|x,3)xx2, 2)x2x,4)x·x. 2.证明本节定理2 3.设Q是有理数集，代数运算是普通加法.试给出Q的一个除恒等变 换以外的自同构 4.设集合M有代数运算，集合M侑代数运算·，且M.问：当 满足结合律时，如何？ 5.设M,M,话是三个代数系统，证明： 1)若M≌M,则h≌M; 2)若M≌M,h≌5，则M≌话 §6等价关系与集合的分类 研究代数系统，除去同态与同构外，还有另一个经常要用到
{珔a,珔b,珋c,…}是另一个有代数运算 - 的代数系统 . 如果 M ≌ M, 且在这个同构之下如果 a 珔a, b 珔b, c 珋c , … 则根据同构的定义, a b= c 当且仅当珔a - 珔b =珋c . 这就是说, 除 去元素本身的性质和代数运算名称与所用符号的不同外, 从运算 的性质看, M 与M并没有任何实质性的差别 . 更具体地说, 就 是由 M 仅根据代数运算所推演出来的一切性质和结论, 都可以 自动地全部转移到与 M 同构的一切代数系统上去 . 因此, 在近 世代数中常把同构的代数系统等同起来, 甚至有时候不加区分 . 这正表现出这门学科所研究的问题的实质所在 . 以上的同态映射与同构映射是只对有一个代数运算的代数系 统来说的, 实际上也可以类推到有两个或两个以上的代数运算的 代数系统上去 . 对此不再赘述 . 习题 1.5 1. 设 M 为实数集 , 代数运算是普通乘法 . 问 : 以下各映射是否为 M 的自同态映射 ? 是否为自同态满射和自同构映射 ? 说明理由 . 1 ) x | x | , 3 ) x x 2 , 2 ) x 2 x , 4 ) x - x . 2. 证明本节定理 2 . 3. 设 Q 是有理数集 , 代数运算是普通加法 . 试给出 Q 的一个除恒等变 换以外的自同构 . 4. 设集合 M 有代数运算 , 集合 M有代数运算 - , 且 M～ M . 问 : 当 - 满足结合律时 , 如何 ? 5. 设 M1 , M2 , M3 是三个代数系统 . 证明 : 1 ) 若 M1 ≌ M2 , 则 M2 ≌ M1 ; 2 ) 若 M1 ≌ M2 , M2 ≌ M3 , 则 M1 ≌ M3 . §6 等价关系与集合的分类 研究代数系统, 除去同态与同构外, 还有另一个经常要用到 24 第一章 基■本■概■念
§6等价关系与集合的分类 25 的一般方法，就是把代数系统分成若干个子集来加以讨论，这就 是集合的分类.它与另一个概念一集合的等价关系有密切的联 系 定义1设M是一个集合.如果有一个法则R,它对M中 任二元素a,b可以确定“是”或“不是”符合这个法则，则称 此法则R为M的元素间的一个系，简称M的一个关系· 当元素a与b符合这一法则时记为aRb;否则记为融 例1设M是有理数集，规定 aRb a+b是整数. 这是M的一个关系，因为任意两个有理数的和是不是整数， 是完全确定的.例如， :■2+寸-子不是整数，∴■2W}: ,■2+3=5是整数， .■23； :■片+子=2是整数。 ■2R子，等等 例2设M是实数集，规定 aRb a<b. 这是M的一个关系.例如， ■2<3， .■23； ■3≮2， .■32 ■2本2， ∴.■2，等等 例3设M是整数集，规定 aRb 6>0. 这不是M的一个关系，因为当b=0时，名无意义，即不能确定 a与0是或不是符合这一法则. 例4设M是正有理数集，规定
的一般方法, 就是把代数系统分成若干个子集来加以讨论, 这就 是集合的分类 . 它与另一个概念———集合的等价关系有密切的联 系 . 定义 1 设 M 是一个集合 . 如果有一个法则 R, 它对 M 中 任二元素 a, b 可以确定“是”或“不是”符合这个法则, 则称 此法则 R 为 M 的元素间的一个 系, 简称 M 的一个关系 . 当元素 a 与 b 符合这一法则时记为 aRb; 否则记为 a珚Rb . 例 1 设 M 是有理数集, 规定 aRb a + b是整数 . 这是 M 的一个关系, 因为任意两个有理数的和是不是整数, 是完全确定的 . 例如, ∵■2 + 1 3 = 7 3 不是整数, ∴■2珚R 1 3 ; ∵■2 + 3 = 5 是整数, ∴■2 R3 ; ∵■ 1 2 + 3 2 = 2 是整数, ∴■ 1 2 R 3 2 , 等等 . 例 2 设 M 是实数集, 规定 aRb a< b . 这是 M 的一个关系 . 例如, ∵■2 < 3 , ∴■2 R3; ∵■3≮2 , ∴■3珚R2; ∵■2≮2 , ∴■2珚R2, 等等 . 例 3 设 M 是整数集, 规定 aRb a b > 0 . 这不是 M 的一个关系, 因为当 b= 0 时, a b 无意义, 即不能确定 a 与 0 是或不是符合这一法则 . 例 4 设 M 是正有理数集, 规定 §6 等价关系与集合的分类 25