16 第一章基■本■概■念 §4运算律 近世代数虽然是讨论具有代数运算的集合，但并不是讨论对 代数运算不加任何限制的集合事实上，数、多项式、矩阵、函数等 的普通运算，一般都满足通常所熟悉的运算规则，诸如结合律、分 配律或交换律等近世代数在研究各种代数系统时，也不能脱离开 这些运算律， 定义1设M是一个有代数运算的集合，如果对M中任意 元素a,b,c都有 (a b)c=a(b c) 则称M的这个代数运算满足结合律. 当然，数、多项式、矩阵及函数等对通常的加法与乘法都满 足结合律.但是，一般的代数运算不一定满足结合律 例1设M是自然数集.则M的代数运算 a b=ab+1 不满足结合律 证因为 (a b)c=abc+c+1,a (b c)=abc+a+1, 而一般abc+c+1≠abc+a+l,即(ab)c≠a(bc,除非a= c.例如，取a=1,b=1,c=2时得 (a b)c=5,a(bc)=4 例2变换的乘法满足结合律. 证任取o,T,中∈T(M,x∈M,则根据变换乘法有 [(o)φ7(x)=(oy(φ(x）=lφ(x）], [o(τ1(x)=[()(x)]=olt(Φ(x))], 从而[(o)(x=(](x).再由于x是M中的任意元素，故 (oTΦ=0（τ. 今后我们主要讨论满足结合律的代数运算.下面将看到，具
§4 运 算 律 近世代数虽然是讨论具有代数运算的集合, 但并不是讨论对 代数运算不加任何限制的集合 .事实上, 数、多项式、矩阵、函数等 的普通运算,一般都满足通常所熟悉的运算规则, 诸如结合律、分 配律或交换律等 .近世代数在研究各种代数系统时, 也不能脱离开 这些运算律 . 定义 1 设 M 是一个有代数运算 的集合, 如果对 M 中任意 元素 a, b, c 都有 ( a b) c= a ( b c) , 则称 M 的这个代数运算 满足结合律 . 当然, 数、多项式、矩阵及函数等对通常的加法与乘法都满 足结合律 . 但是, 一般的代数运算不一定满足结合律 . 例 1 设 M 是自然数集 . 则 M 的代数运算 a b= ab+ 1 不满足结合律 . 证 因为 ( a b) c= abc+ c+ 1, a ( b c) = abc+ a+ 1, 而一般 abc+ c+ 1≠ abc+ a + 1, 即 ( a b) c≠ a ( b c) , 除非 a = c . 例如, 取 a= 1, b = 1, c= 2 时得 ( a b) c= 5 , a ( b c) = 4 . 例 2 变换的乘法满足结合律 . 证 任取σ, τ, φ∈ T( M) , x∈ M, 则根据变换乘法有 [(στ)φ] ( x) = (στ) (φ( x ) ) =σ[τ(φ( x ) ) ], [σ(τφ)] ( x) =σ[ (τφ) ( x )] =σ[τ(φ( x ) ) ], 从而[(στ)φ] ( x) = [σ(τφ) ] ( x ) .再由于 x 是 M 中的任意元素, 故 (στ)φ=σ(τφ) . 今后我们主要讨论满足结合律的代数运算 . 下面将看到, 具 16 第一章 基■本■概■念
§4运算律 17 有这种性质的代数运算会对元素的运算带来什么影响. 设集合M有代数运算，现在从M中任取四个元素a,b, c.d,则写法 应该说是毫无意义的.因为，代数运算每次只能对两个元素进行 运算，四个元素只能采取加括号的方法逐步加以计算.但易知 这四个元素共有以下五种加括号的方法： I(a b)cl d.a (b c)d] Ta (b c)]d,a [b (cd)], (a b)(cd), 其中每一个都是M中一个确定的元素.一般来说，这五个确定 的元素不一定相等，但是当满足结合律时，下面将知道这五种 加括号方法的所得结果是相等的，即它们是M中同一个元素· 这时便可以不加括号，而把这个共同的元素记为 a b cd. 在这种规定下，写法abcd才有确定的意义· 对任意有限个元素可以作完全类似的规定· 一般，对M中n个元素a,a,…,am,可以证明（例如可 参看书末参考文献2)共有 (2n-2)↓ s=n…(n-1) 种加括号方法，分别表示成 Π(a…,(am…a),…, 卫(aa…a） 定理1若集合M的代数运算满足结合律，则对M中任 意n(n≥3)个元素无论怎样加括号，其结果都相等 证对元素个数n用数学归纳法， 由于代数运算满足结合律，故当n=3时定理当然成立. 假定对元素个数≤n·1时定理成立，则任取
有这种性质的代数运算会对元素的运算带来什么影响 . 设集合 M 有代数运算 , 现在从 M 中任取四个元素 a, b, c, d, 则写法 a b c d 应该说是毫无意义的 . 因为, 代数运算每次只能对两个元素进行 运算, 四个元素只能采取加括号的方法逐步加以计算 . 但易知, 这四个元素共有以下五种加括号的方法: [ ( a b) c] d, a [( b c) d], [ a ( b c)] d, a [ b ( c d) ], ( a b) ( c d) , 其中每一个都是 M 中一个确定的元素 . 一般来说, 这五个确定 的元素不一定相等 . 但是当 满足结合律时, 下面将知道这五种 加括号方法的所得结果是相等的, 即它们是 M 中同一个元素 . 这时便可以不加括号, 而把这个共同的元素记为 a b c d . 在这种规定下, 写法 a b c d 才有确定的意义 . 对任意有限个元素可以作完全类似的规定 . 一般, 对 M 中 n 个元素 a1 , a2 , …, an , 可以证明 (例如可 参看书末参考文献[2 ]) 共有 s = ( 2 n - 2) ! n !·( n - 1 ) ! 种加括号方法, 分别表示成 Π1 ( a1 a2 … an ) , Π2 ( a1 a2 … an ) , …, Πs ( a1 a2 … an ) . 定理 1 若集合 M 的代数运算 满足结合律, 则对 M 中任 意 n ( n≥3) 个元素无论怎样加括号, 其结果都相等 . 证 对元素个数 n 用数学归纳法 . 由于代数运算 满足结合律, 故当 n= 3 时定理当然成立 . 假定对元素个数≤ n - 1 时定理成立, 则任取 §4 运 算 律 17
18 第一章基■本■概■念 可(aa…a,1≤j≤s 不管其怎样加括号，其最后一步总是M中两个元素结合，设为 p(aa…a)=bb, 且设b是a,,…,a中前k(1≤k<n)个元素结合所得的结 果，b是后n·k个元素结合所得的结果，由归纳假设，它们都 是惟一确定的，故 p(aa…aa)=hb =a…ak）(a+1…a) =[a(a…k)](ak+1…am) =a[(…k）（+1…a] =a[(a…a)(a1…a刀 =a(…am）. 由归纳假设，由于a…a是M中惟一确定的元素，从而a (a…a)是M中惟一确定的元素.因此，每个，(aa…a) 都等于这个确定的元素，从而 (aa)=…=，(a…am). 证毕) 根据这个定理，对于满足结合律的代数运算来说，任意个 元素只要不改变元素的前后次序，就可以任意结合而不必再加括 由于数、多项式、矩阵和线性变换的普通加法与乘法都满足 结合律，从而在对这些对象进行这两种运算时便可以任意结合， 而不必加括号.这一结论不仅在中学数学中，而且在高等代数或 其他课程中从未证明过，甚至从未提及过，而现在则由定理1全 部统一解决了.这一点充分说明，正是由于近世代数所讨论的代 数系统具有抽象性，从而决定了其具有较广泛的应用范围· 下面再讨论交换律 定义2如果集合M的代数运算对M中任意元素a,b都
Πj ( a1 a2 … an ) , 1≤ j≤s, 不管其怎样加括号, 其最后一步总是 M 中两个元素结合, 设为 Πj ( a1 a2 … an ) = b1 b2 , 且设 b1 是 a1 , a2 , …, an 中前 k (1≤ k< n) 个元素结合所得的结 果, b2 是后 n - k 个元素结合所得的结果, 由归纳假设, 它们都 是惟一确定的, 故 Πj ( a1 a2 … an ) = b1 b2 = ( a1 a2 … ak ) ( ak + 1 … an ) = [ a1 ( a2 … ak ) ] ( ak + 1 … an ) = a1 [( a2 … ak ) ( ak + 1 … an )] = a1 [( a2 … ak ) ( ak + 1 … an )] = a1 ( a2 … an ) . 由归纳假设, 由于 a2 … an 是 M 中惟一确定的元素, 从而 a1 ( a2 … an ) 是 M 中惟一确定的元素 .因此, 每个 Πj ( a1 a2 … an ) 都等于这个确定的元素, 从而 Π1 ( a1 a2 … an ) = … = Πs ( a1 a2 … an ) . (证毕) 根据这个定理, 对于满足结合律的代数运算来说, 任意 n 个 元素只要不改变元素的前后次序, 就可以任意结合而不必再加括 号 . 由于数、多项式、矩阵和线性变换的普通加法与乘法都满足 结合律, 从而在对这些对象进行这两种运算时便可以任意结合, 而不必加括号 . 这一结论不仅在中学数学中, 而且在高等代数或 其他课程中从未证明过, 甚至从未提及过, 而现在则由定理 1 全 部统一解决了 . 这一点充分说明, 正是由于近世代数所讨论的代 数系统具有抽象性, 从而决定了其具有较广泛的应用范围 . 下面再讨论交换律 . 定义 2 如果集合 M 的代数运算 对 M 中任意元素 a, b 都 有 18 第一章 基■本■概■念
§4运算律 a b=b a, 则称M的这个代数运算满足交换律. 满足结合律和交换律的代数运算有以下重要意义 定理2若集合M的代数运算既满足结合律又满足交换 律，则对M中任意n个元素进行运算时可以任意结合和交换元 素的前后次序，其结果均相等 证对元素的个数n用数学归纳法 当n=2时，结论当然成立.假定对元素个数为n-1时结论 成立，下证对n也成立. 在M中任取n个元素a,a,…,aa,并设 a,a2,…,an 是它的任意一个排列，且令a=a，则由于代数运算满足结 合律和交换律，故 aa2…a.=[(a…a.1）a](a+1…an） =[a(a…a.](a1…a) =a[fa…a4.i)(a1…a,] =a(…am） =aa…a. 即对n个元素无论怎样加括号和交换，其结果都是相等的 (证毕》 最后再讨论分配律 定义3设集合M有两个代数运算及·如果对M中任 意元素a,b.c,都有 a (b c)=(ab)(a c). 则称运算对满足左分配律：如果 bcya=(ba则(ca 则称运算对满足右分配律· 定理3设集合M有两个代数运算及，其中满足结 合律，而对满足左分配律，则对M中任意元素a及b,b
a b= b a, 则称 M 的这个代数运算满足交换律 . 满足结合律和交换律的代数运算有以下重要意义 . 定理 2 若集合 M 的代数运算 既满足结合律又满足交换 律, 则对 M 中任意 n 个元素进行运算时可以任意结合和交换元 素的前后次序, 其结果均相等 . 证 对元素的个数 n 用数学归纳法 . 当 n = 2 时, 结论当然成立 . 假定对元素个数为 n - 1 时结论 成立, 下证对 n 也成立 . 在 M 中任取 n 个元素 a1 , a2 , …, an , 并设 ai 1 , ai 2 , …, ai n 是它的任意一个排列, 且令 ai k = a1 , 则由于代数运算 满足结 合律和交换律, 故 ai 1 ai 2 … ai n = [( ai 1 … ai k - 1 ) a1 ] ( ai k + 1 … ai n ) = [ a1 ( ai 1 … ai k - 1 ) ] ( ai k + 1 … an ) = a1 [ ( ai 1 … ai k - 1 ) ( ai k+ 1 … ai n )] = a1 ( a2 … an ) = a1 a2 … an . 即对 n 个元素无论怎样加括号和交换, 其结果都是相等的 . (证毕) 最后再讨论分配律 . 定义 3 设集合 M 有两个代数运算 及 . 如果对 M 中任 意元素 a, b, c, 都有 a ( b c) = ( a b) ( a c) , 则称运算 对 满足左分配律; 如果 ( b c) a = ( b a) ( c a) , 则称运算 对 满足右分配律 . 定理 3 设集合 M 有两个代数运算 及 , 其中 满足结 合律, 而 对 满足左分配律, 则对 M 中任意元素 a 及 b1 , b2 , §4 运 算 律 19
20 第一章基■本■概■念 …,b有 a(hb… b.)=(ab)…(abn). 证对n用数学归纳法即可得证. 对右分配律有类似结论，不再赘述 习题1.4 1.设M为实数集.问： ab=2a+3b(a,b∈M 是否满足结合律和交换律？ 2.下列各集合对所规定的代数运算是否满足结合律和交换律？ 1)M为整数集，ab=d+B; 2)M为有理数集，ab=a+b-ab. 3.设M=1,2,3}.试为M规定一个满足结合律和交换律的代数运 算：再规定一个满足交换律但不满足结合律的代数运算· 4.数域F上全体非零多项式的集合对于 fx)gx划=(f(x),g(x)) 是否满足结合律和交换律？其中(f(x),gx划)表示f(x)与g(x)的首系数是 1的最高公因式 5.证明本节定理3 §5同态与同构 由于近世代数主要研究具有代数运算的集合，因此，近世代 数很少考察一般的映射，而主要考察与代数运算发生联系的映 射，这就是同态映射和同构映射，它是近世代数中非常重要的概 念 定义1设集合M与跗各有代数运算及·，且中是M到 將的一个映射.如果中满足以下条件：对M中任意元素a,b, 在中之下由 a琉b踌
…, bn 有 a ( b1 b2 … bn ) = ( a b1 ) … ( a bn ) . 证 对 n 用数学归纳法即可得证 . 对右分配律有类似结论, 不再赘述 . 习题 1.4 1. 设 M 为实数集 . 问 : a b= 2 a+ 3b ( a, b∈ M) 是否满足结合律和交换律 ? 2. 下列各集合对所规定的代数运算是否满足结合律和交换律 ? 1 ) M 为整数集 , a b= a 2 + b 2 ; 2 ) M 为有理数集 , a b= a+ b - ab . 3. 设 M = { 1, 2 , 3 } . 试为 M 规定一个满足结合律和交换律的代数运 算 ; 再规定一个满足交换律但不满足结合律的代数运算 . 4. 数域 F 上全体非零多项式的集合对于 f( x) g( x) = ( f ( x) , g( x ) ) 是否满足结合律和交换律 ? 其中( f( x) , g( x) )表示 f( x) 与 g( x )的首系数是 1 的最高公因式 . 5. 证明本节定理 3 . §5 同态与同构 由于近世代数主要研究具有代数运算的集合, 因此, 近世代 数很少考察一般的映射, 而主要考察与代数运算发生联系的映 射, 这就是同态映射和同构映射 . 它是近世代数中非常重要的概 念 . 定义 1 设集合 M 与珨M 各有代数运算 及 - , 且φ是 M 到 珨M 的一个映射 . 如果 φ满足以下条件: 对 M 中任意元素 a, b, 在 φ之下由 a 珔a, b 珔b 20 第一章 基■本■概■念