§2映射与变换 11 意一个固定的n阶满秩方阵. 定理3含n个元素的任意集合共有n!个双射变换 证设M=1,2,…,n必，则对M的每个双射变换中，都能 确定元素1,2，…，n的一个全排列 φ(1)φ2)…φ(n 反之，元素1,2，…，n的任意一个全排列都确定M的一个双 射变换；而且不同的排列确定不同的双射变换.因此，这n个元素 有多少个全排列，M就有多少个双射变换.由于n个元素共有n! 个全排列，故M共有n！个双射变换. (证毕) 对有限集合的双射变换中，常用以下特殊符号表示： 12。n = 1)(2)…(刊 并称其为一个n次置换. 例如，当n=3时，集合M=1,2,3}共有3！=6个3次置 换，它们是 123,=123 =123 132,=123 213· 123 123 123 231，g= 中= 312,4= 321 应该注意的是，同一个n次置换可以有n!种不同的写法。 例如，上面的3次置换本的6种写法是： -123.1322213 231213321 231312321 =312=123=132 在下一节，特别在下一章中，我们还将详细地讨论n次置
意一个固定的 n 阶满秩方阵 . 定理 3 含 n 个元素的任意集合共有 n ! 个双射变换 . 证 设 M = {1, 2, …, n}, 则对 M 的每个双射变换 φ, 都能 确定元素 1, 2, …, n 的一个全排列 φ(1 )φ( 2) …φ( n) . 反之,元素 1, 2, …, n 的任意一个全排列都确定 M 的一个双 射变换; 而且不同的排列确定不同的双射变换 .因此, 这 n 个元素 有多少个全排列, M 就有多少个双射变换 .由于 n 个元素共有 n ! 个全排列,故 M 共有 n ! 个双射变换 . (证毕) 对有限集合的双射变换 φ, 常用以下特殊符号表示: φ= 1 2 … n φ(1 ) φ(2 ) … φ( n) , 并称其为一个 n 次置换 . 例如, 当 n= 3 时, 集合 M = {1, 2 , 3}共有 3 ! = 6 个 3 次置 换, 它们是 φ1 = 1 2 3 1 2 3 , φ2 = 1 2 3 1 3 2 , φ3 = 1 2 3 2 1 3 , φ4 = 1 2 3 2 3 1 , φ5 = 1 2 3 3 1 2 , φ6 = 1 2 3 3 2 1 . 应该注意的是, 同一个 n 次置换可以有 n ! 种不同的写法 . 例如, 上面的 3 次置换 φ4 的 6 种写法是: φ4 = 1 2 3 2 3 1 = 1 3 2 2 1 3 = 2 1 3 3 2 1 = 2 3 1 3 1 2 = 3 1 2 1 2 3 = 3 2 1 1 3 2 . 在下一节, 特别在下一章中, 我们还将详细地讨论 n 次置 换 . §2 映射与变换 11
12 第一章基■本■概■念 习题12 1.设X=1,2,3,4,5},Y=0,2,4,6,8,10}.试给出X到Y的两个单 射 2.设X是数域F上全体n(n>1)阶方阵作成的集合.问： 中：AA川 是否为X到F的一个映射？其中IA|为A的行列式.是否为满射或单射？ 3.设A与B是数域F上两个n阶相似方阵，F[A]为系数属于F的关 于A的一切多项式作成的集合.问：法则 中：fA)fB) 是否为FIA]到FB1的映射？其中f(x)是系数属于F的任意多项式，又中 是否为单射或满射 4.对本节中给出的3次置换，求出下列各元素： 1)$(Φ（中(1）)=？ 2)血((@2))=？ 5.给出整数集的两个不同的双射 §3代■数■运■算 我们说过，近世代数的主要任务是研究各种抽象的代数系 统.所谓代数系统，就是指带有运算的集合·这一节我们要严格 指出，所谓“带有运算”究竟是什么意思， 定义1设M是一个集合.如果有一个法则，它对M中任 意两个有次序的元素a与b,在M中都有一个惟一确定的元素d 与它们对应，则称这个法则是集合M的一个代数运算 如果我们用记号“”表示本定义中所说的法则，则平常把 a与b通过所确定的元素d记为 a b=d. 就是说，对M中任二元素a,b,通过所规定的法则“”，“算” 出一个元素d来，而d必须属于M. 这正是通常的加法和乘法运算所共有的最本质的属性，因
习题 1.2 1. 设 X = { 1, 2,3 ,4 ,5} , Y = {0 ,2 ,4, 6,8 , 10 } .试给出 X 到 Y 的两个单 射 . 2. 设 X 是数域 F 上全体 n( n> 1) 阶方阵作成的集合 .问: φ: A | A| 是否为 X 到 F 的一个映射 ? 其中 | A |为 A 的行列式 .是否为满射或单射 ? 3. 设 A 与 B 是数域 F 上两个 n 阶相似方阵 , F[ A]为系数属于 F 的关 于 A 的一切多项式作成的集合 .问 :法则 φ: f ( A) f( B) 是否为 F[ A]到 F[ B]的映射 ? 其中 f( x )是系数属于 F 的任意多项式 .又 φ 是否为单射或满射 . 4. 对本节中给出的 3 次置换, 求出下列各元素 : 1 )φ5 (φ3 (φ1 (1) ) ) = ? 2 )φ6 (φ4 (φ2 (2) ) ) = ? 5. 给出整数集的两个不同的双射 . §3 代■数■运■算 我们说过, 近世代数的主要任务是研究各种抽象的代数系 统 . 所谓代数系统, 就是指带有运算的集合 . 这一节我们要严格 指出, 所谓“带有运算”究竟是什么意思 . 定义 1 设 M 是一个集合 . 如果有一个法则, 它对 M 中任 意两个有次序的元素 a 与 b, 在 M 中都有一个惟一确定的元素 d 与它们对应, 则称这个法则是集合 M 的一个代数运算 . 如果我们用记号“ ”表示本定义中所说的法则, 则平常把 a 与 b 通过 所确定的元素 d 记为 a b= d . 就是说, 对 M 中任二元素 a, b, 通过所规定的法则“ ”,“算” 出一个元素 d 来, 而 d 必须属于 M . 这正是通常的加法和乘法运算所共有的最本质的属性 . 因 12 第一章 基■本■概■念
§3代■数■运■算 13 此，代数运算就是通常加法与乘法运算在最一般情况下的一种自 然推广」 例1普通加法、减法与乘法都是整数集、有理数集、实数 集和复数集的代数运算 例2普通的减法不是正整数集的代数运算，因为例如正整 数1减2得-1，但-1不是正整数. 类似地，普通除法▣b=b也不是有理数集的代数运算， Q 因为，尽管对任何有理数b及任何非零有理数a来说，上是确定 的有理数，但是 06& 却无意义 例3法则 a b=d+b 不是整数集的代数运算.因为，尽管对任二整数a,b来说， +6是惟一确定的实数，但却不一定是整数，例如 12=12+22=5 就不是一个整数· 例4法则 ab=ab+1或ab=a+b-10 都是整数集的代数运算，而且前者还是自然数集的一个代数运 算 例5法则 A B=AB 是数域F上全体n阶方阵的集合的一个代数运算 下面来讨论变换的运算，它在下一章群的讨论里起重要作 用
此, 代数运算就是通常加法与乘法运算在最一般情况下的一种自 然推广 . 例 1 普通加法、减法与乘法都是整数集、有理数集、实数 集和复数集的代数运算 . 例 2 普通的减法不是正整数集的代数运算, 因为例如正整 数 1 减 2 得 - 1, 但 - 1 不是正整数 . 类似地, 普通除法 a b = b a 也不是有理数集的代数运算, 因为, 尽管对任何有理数 b 及任何非零有理数 a 来说, b a 是确定 的有理数, 但是 0 b= b 0 却无意义 . 例 3 法则 a b= a 2 + b 2 不是整数 集的 代数 运算 . 因 为, 尽管 对任 二整 数 a, b 来说, a 2 + b 2 是惟一确定的实数, 但却不一定是整数, 例如 1 2 = 1 2 + 2 2 = 5 就不是一个整数 . 例 4 法则 a b= ab+ 1 或 a b= a + b - 10 都是整数集的代数运算, 而且前者还是自然数集的一个代数运 算 . 例 5 法则 A B = | A| B 是数域 F 上全体 n 阶方阵的集合的一个代数运算 . 下面来讨论变换的运算, 它在下一章群的讨论里起重要作 用 . §3 代■数■运■算 13
14 第一章基■本■概■念 设M是任意一个非空集合，用T(M表示M的全体变换作 成的集合，任取o,τ∈T(M,则根据映射的合成知，乘积oπ即 ot(x)=((x)(”x∈M 也是M的一个变换，故or∈T(M).我们称其为换的乘法 它是T(M的一个代数运算. 若用e表示集合M的恒等变换，则对任意o∈T(M)都有 0e(x)=eo(x)=o(x),(”x∈M 从而 e0=0e=0, 即在变换的乘法中，恒等变换起着数1在数的普通乘法中相同的 作用. 令S(M表示集合M的全体双射变换作成的集合，于是 S(M)T(M), 即S(M)是T(M的一个子集.可以证明，变换乘法也是S(M) 的一个代数运算，即M的任意两个双射变换的乘积仍是M的一 个双射变换. 事实上，设o,τ∈S(M),a∈M,则由于o是M的双射变 换，故存在bEM,使 o(b)=a: 又因为t也是M的双射变换，故存在c∈M使 (c)=b. 从而ot(c=a,即乘积ot是M的满射变换 又若a≠a,则(a)≠(e,从而 0r(a≠0r(c, 即oπ又是M的单射变换. 因此，ot是M的一个双射变换，即oτ∈S(M 例如，设M=1,2,3,则由上节知 SM=中，，，，$，虫}， 而变换的乘法是它的一个代数运算.例如
设 M 是任意一个非空集合, 用 T( M)表示 M 的全体变换作 成的集合 . 任取σ, τ∈ T( M) , 则根据映射的合成知, 乘积στ即 στ( x) =σ(τ( x) ) ( " x∈M) 也是 M 的一个变换, 故 στ∈ T ( M) . 我们称其为 换的乘法 . 它是 T( M)的一个代数运算 . 若用ε表示集合 M 的恒等变换,则对任意 σ∈ T( M)都有 σε( x ) =εσ( x ) =σ( x ) , ( " x∈ M) , 从而 εσ=σε=σ, 即在变换的乘法中, 恒等变换起着数 1 在数的普通乘法中相同的 作用 . 令 S( M)表示集合 M 的全体双射变换作成的集合, 于是 S( M) T( M) , 即 S( M)是 T( M) 的一个子集 . 可以证明, 变换乘法也是 S ( M) 的一个代数运算, 即 M 的任意两个双射变换的乘积仍是 M 的一 个双射变换 . 事实上, 设σ, τ∈ S ( M) , a∈ M, 则由于 σ是 M 的双射变 换, 故存在 b∈ M, 使 σ( b) = a; 又因为τ也是 M 的双射变换, 故存在 c∈ M 使 τ( c) = b . 从而στ( c) = a, 即乘积στ是 M 的满射变换 . 又若 c1 ≠c2 , 则τ( c1 )≠τ( c2 ) , 从而 στ( c1 )≠στ( c2 ) , 即στ又是 M 的单射变换 . 因此, στ是 M 的一个双射变换, 即στ∈ S( M) . 例如, 设 M = {1, 2, 3}, 则由上节知 S( M) = {φ1 ,φ2 ,φ3 ,φ4 ,φ5 ,φ6 }, 而变换的乘法是它的一个代数运算 . 例如 14 第一章 基■本■概■念
§4运算律 15 本中1)=本（中1))=4(2)=1， 本2)=4（中(2）=4(3)=3， $中(3)=本（中(3）=4(1)=2， 即 123123123 虫小= 213231 132= 对有限集合的代数运算，常直观地列成一个表.例如，设 M=fa,e,…,a}, 而aa=a,∈Mi,j=1,2,…,n)是M的一个代数运算，则对 此可列成下表 a a … a ai a2 a2 … … … … … a 常称这种表为M的“乘法表” 习题13 1.设M是正整数集，下列各法则哪些是M的代数运算？ 1)a b=d;2)a b=a+b-2:3)a b=a 2.设及'是集合M的两个代数运算，如果在M中存在元素a,b使 ab≠ab. 则称与·是M的两个不同的代数运算， 如果1M=n,问：可以为M规定出多少种不同的代数运算？ 3.试对数域F上全体n阶方阵的集合规定两个（异于矩阵普通运算）不 同的代数运算， 4.设M=1,2,3},问：|T(M1=?|SM1=?再列出S(M0的乘法 举 5.设M为正整数集合，试给出M的两个双射变换o,T,使得ot≠to
φ3φ4 (1 ) =φ3 (φ4 (1 ) ) =φ3 ( 2) = 1, φ3φ4 (2 ) =φ3 (φ4 (2 ) ) =φ3 ( 3) = 3, φ3φ4 (3 ) =φ3 (φ4 (3 ) ) =φ3 ( 1) = 2, 即 φ3φ4 = 1 2 3 2 1 3 1 2 3 2 3 1 = 1 2 3 1 3 2 =φ2 . 对有限集合的代数运算, 常直观地列成一个表 . 例如, 设 M = { a1 , a2 ,…, an }, 而 ai aj = ai j ∈ M( i, j = 1 , 2, …, n)是 M 的一个代数运算, 则对 此可列成下表: a1 a2 … an M‘ a1 a1 1 a1 2 … a1 n a2 a2 1 a2 2 … a2 n … … … … an an1 an2 … ann 常称这种表为 M 的“乘法表”. 习题 1.3 1. 设 M 是正整数集 , 下列各法则哪些是 M 的代数运算 ? 1 ) a b= a b ; 2) a b= a+ b - 2; 3) a b= a . 2. 设 及 - 是集合 M 的两个代数运算 , 如果在 M 中存在元素 a , b使 a b≠a - b, 则称 与 - 是 M 的两个不同的代数运算 . 如果 | M| = n,问 : 可以为 M 规定出多少种不同的代数运算 ? 3. 试对数域 F 上全体 n 阶方阵的集合规定两个 (异于矩阵普通运算 ) 不 同的代数运算 . 4. 设 M = {1 ,2 ,3} ,问 : | T( M) | = ? | S( M) | = ? 再列出 S( M) 的乘法 表 . 5. 设 M 为正整数集合 ,试给出 M 的两个双射变换σ,τ, 使得στ≠τσ. §4 运 算 律 15