6 第一章基■本■概■念 §2映射与变换 通过映射与变换来研究代数系统，这是近世代数中最重要的 方法之一 定义1设X与Y是两个集合.如果有一个法则中，它对于 X中每个元素x,在Y中都有一个惟一确定的元素y与它对应 则称Φ为集合X到集合Y的一个射.这种关系常表示成 中：xy或y=(x), 并且把y叫做x在映射中之下的象，而把x叫做y在映射Φ之 下的象象· 例1设X为有理数集，Y为实数集，则法则 中：x 即到 1 不是X到Y的映射，因为，虽然中对于任何不等于1的有理数 x在Y中都有惟一确定的象，但是有理数1没有确定的象。 例2设X与Y都是有理数集，法则 名a+6即中号=a+b 不是X到y的映射.因为，例如对于之=子却有 03=1+2=3,0子=2+4=6， 即X中相等的元素在Y中的象不惟一，但映射必须要求X中相 等的元素在Y中的象也相等. 例3设X=1,2,3},Y=2,4,8,16},则法则 中：x2x,即(x)=2x 也不是X到Y的映射.因为，虽然中对X中每个元素都有一个 惟一确定的象，但3的象6却不属于Y, 这就是说，集合X到集合Y的一个法则中，在满足以下三
§2 映射与变换 通过映射与变换来研究代数系统, 这是近世代数中最重要的 方法之一 . 定义 1 设 X 与 Y 是两个集合 . 如果有一个法则 φ, 它对于 X 中每个元素 x , 在 Y 中都有一个惟一确定的元素 y 与它对应, 则称 φ为集合 X 到集合 Y 的一个 射 . 这种关系常表示成 φ: x y 或 y =φ( x) , 并且把 y 叫做 x 在映射φ之下的象 , 而把 x 叫做 y 在映射 φ之 下的 象 象 . 例 1 设 X 为有理数集, Y 为实数集, 则法则 φ: x 1 x - 1 , 即 φ( x ) = 1 x - 1 不是 X 到 Y 的映射 . 因为, 虽然 φ对于任何不等于 1 的有理数 x 在 Y 中都有惟一确定的象, 但是有理数 1 没有确定的象 . 例 2 设 X 与 Y 都是有理数集, 法则 φ: a b a + b, 即 φ a b = a+ b 不是 X 到 Y 的映射 . 因为, 例如对于 1 2 = 2 4 , 却有 φ 1 2 = 1 + 2 = 3, φ 2 4 = 2 + 4 = 6, 即 X 中相等的元素在 Y 中的象不惟一 . 但映射必须要求 X 中相 等的元素在 Y 中的象也相等 . 例 3 设 X = {1 ,2 ,3}, Y = {2 ,4 ,8 ,16} , 则法则 φ: x 2 x, 即 φ( x ) = 2 x 也不是 X 到 Y 的映射 . 因为, 虽然φ对 X 中每个元素都有一个 惟一确定的象, 但 3 的象 6 却不属于 Y . 这就是说, 集合 X 到集合 Y 的一个法则 φ, 在满足以下三 6 第一章 基■本■概■念
§2映射与变换 7 个条件时才是一个映射： )中对于X中每个元素都必须有确定的象： 2)X中相等元素的象也必须相等，亦即X中每个元素的象 是惟一的： 3)X中每个元素的象都必须属于Y. 例4设X=1,2,3},Y=0,4,9,10},则法则 :10,20,39, 即1)=2)=0,3)=9是X到Y的一个映射， 例5设X为数域F上全体n维向量作成的集合，则法则 中：(a,a,…,a)a(a∈F) 即(a,a,…,a月=a是X到F的一个映射 例6设X=1,2,3,…},Y为有理数集，则法则 中：xx2,即(x)=x 也是X到Y的一个映射. 映射是通常函数概念的一种推广，集合X相当于定义域 不过应注意，集合Y包含值域，但不一定是值域，就是说，在 映射中之下不一定Y中每个元素都有逆象·例如，例6就属于 这种情形. 定义2设中是集合X到集合Y的一个映射.如果在中之 下Y中每个元素在X中都有逆象，则称中为X到Y的一个 一，或X到Y上的一个映射， 设中是集合X到集合Y的一个映射，又XX,YY 则用(X)表示X中所有元素在中之下全体象作成的集合，称为 X在中之下的象，它是Y的一个子集；类似地，用中'(Y)表示 Y中所有元素在Φ之下全体逆象作成的集合，称为Y在中之下 的逆象，它是X的一个子集 显然，X到Y的映射中是满射当且仅当中(X)=Y 定义3设中是集合X到Y的一个映射.如果在中之下，X
个条件时才是一个映射: 1) φ对于 X 中每个元素都必须有确定的象; 2) X 中相等元素的象也必须相等, 亦即 X 中每个元素的象 是惟一的; 3) X 中每个元素的象都必须属于 Y . 例 4 设 X = {1 ,2 ,3}, Y = {0, 4, 9, 10}, 则法则 φ: 1 0, 2 0, 3 9, 即 φ(1 ) =φ(2 ) = 0, φ(3 ) = 9 是 X 到 Y 的一个映射 . 例 5 设 X 为数域 F 上全体 n 维向量作成的集合, 则法则 φ: ( a1 , a2 , …, an ) a1 ( ai∈ F) 即 φ( ( a1 , a2 ,…, an ) ) = a1 是 X 到 F 的一个映射 . 例 6 设 X = {1 ,2 ,3 ,…} , Y 为有理数集,则法则 φ: x x 2 , 即 φ( x ) = x 2 也是 X 到 Y 的一个映射 . 映射是通常函数概念的一种推广, 集合 X 相当于定义域 . 不过应注意, 集合 Y 包含值域, 但不一定是值域 . 就是说, 在 映射 φ之下不一定 Y 中每个元素都有逆象 . 例如, 例 6 就属于 这种情形 . 定义 2 设 φ是集合 X 到集合 Y 的一个映射 . 如果在 φ之 下 Y 中每个元素在 X 中都有逆象, 则称 φ为 X 到 Y 的一个 , 或 X 到 Y 上的一个映射 . 设 φ是集合 X 到集合 Y 的一个映射, 又 X1 X, Y1 Y . 则用φ( X1 )表示 X1 中所有元素在 φ之下全体象作成的集合,称为 X1 在 φ之下的象 , 它是 Y 的一个子集; 类似地, 用 φ- 1 ( Y1 ) 表示 Y1 中所有元素在 φ之下全体逆象作成的集合, 称为 Y1 在 φ之下 的逆象, 它是 X 的一个子集 . 显然, X 到 Y 的映射φ是满射当且仅当φ( X) = Y . 定义 3 设 φ是集合 X 到 Y 的一个映射 . 如果在φ之下, X §2 映射与变换 7
8 第一章基■本■概■念 中不相等的元素在y中的象也不相等，则称中为X到y的一个 射，或X到Y里的一一映射 我们不难检查上面所举的例子中，哪些是满射，哪些是单射 定义4集合X到Y的一个映射，如果既是单射又是满射 则称它为X到Y的一个射（或X到Y上的一一映射）. 例7设X=1,2,3,,Y=2,4,6,…,则法则 中：x2x即(x)=2x 显然是X到Y的一个双射. 例8设X是数域F上全体n阶方阵作成的集合，Y-0, 1,…,n,又用r(A)表示F上n阶方阵A的秩，则法则 Φ：Ar(A) 是X到Y的一个满射，但不是单射，因为不同的方阵显然可能 有相同的秩.因此，Φ不是X到Y的双射. 定理1设中是集合X到集合Y的一个映射.则中是X到 Y的一个双射，当且仅当中为“双方单值”，即中对X中每个元 素在Y中只有一个象，且对Y中每个元素在X中有且只有一个 逆象 证1)设中对X中每个元素在Y中只有一个象，且对y中 每个元素在X中只有一个逆象，则中当然是X到Y的一个满 射 又设m,地∈X,且n)=,(拉)=2·如果”=2， 则由于其逆象惟一，故”=知·即中为X到y的单射，从而中 为X到Y的一个双射. 2)设中为X到Y的一个双射，则当然对X中每个元素在Y 中只能有一个象·由于中是满射，故中对Y中每个元素都有逆 象，又由于中是单射，因此中对Y中每个元素只能有一个逆象 (证毕) 设中为集合X到集合Y的一个双射，且(x)=y,则显然 法则
中不相等的元素在 Y 中的象也不相等, 则称 φ为 X 到 Y 的一个 射, 或 X 到 Y 里的一一映射 . 我们不难检查上面所举的例子中, 哪些是满射, 哪些是单射 . 定义 4 集合 X 到 Y 的一个映射, 如果既是单射又是满射, 则称它为 X 到 Y 的一个 射(或 X 到 Y 上的一一映射) . 例 7 设 X = {1 ,2 ,3 ,…} , Y = {2, 4, 6, …}, 则法则 φ: x 2 x 即 φ( x) = 2 x 显然是 X 到 Y 的一个双射 . 例 8 设 X 是数域 F 上全体 n 阶方阵作成的集合, Y = {0, 1, …, n} , 又用 r( A)表示 F 上 n 阶方阵 A 的秩, 则法则 φ: A r( A) 是 X 到 Y 的一个满射 . 但不是单射, 因为不同的方阵显然可能 有相同的秩 . 因此, φ不是 X 到 Y 的双射 . 定理 1 设 φ是集合 X 到集合 Y 的一个映射 . 则 φ是 X 到 Y 的一个双射, 当且仅当 φ为“双方单值”, 即 φ对 X 中每个元 素在 Y 中只有一个象, 且对 Y 中每个元素在 X 中有且只有一个 逆象 . 证 1 ) 设 φ对 X 中每个元素在 Y 中只有一个象, 且对 Y 中 每个元素在 X 中只有一个逆象, 则 φ当然是 X 到 Y 的一个满 射 . 又设 x1 , x2 ∈ X, 且 φ( x1 ) = y1 , φ( x2 ) = y2 . 如果 y1 = y2 , 则由于其逆象惟一, 故 x1 = x2 . 即 φ为 X 到 Y 的单射, 从而 φ 为 X 到 Y 的一个双射 . 2 ) 设 φ为 X 到 Y 的一个双射, 则当然对 X 中每个元素在 Y 中只能有一个象 . 由于 φ是满射, 故 φ对 Y 中每个元素都有逆 象; 又由于 φ是单射, 因此 φ对 Y 中每个元素只能有一个逆象 . (证毕) 设 φ为集合 X 到集合 Y 的一个双射, 且 φ( x ) = y, 则显然 法则 8 第一章 基■本■概■念
§2映射与变换 9 中1：yx,即中'(y以=x 便是集合Y到X的一个双射.我们称中'为中的逆映射 显然，中的逆映射就是中，即（Φ'）=中. 对两个有限集合X与Y来说，显然它们间能建立双射的充 要条件是1X=Y,即二者包含的元素个数相等.特别有 定理2设X与Y是两个有限集合且|X=|YI,则X到Y 的映射中是满射当且仅当中是单射. 证设|X=1Y川=n,且 X=n,a,…,x/,Y={n,2,…,}, 又 Φ：xy%,(i=1,…,nm;1≤k≤) 是X到Y的一个映射. 若中是满射，则由≠。，必有%≠y%: 因若片=片，则 X)={%,%,…, 最多有n-1个元素，因此中(X)≠Y,这与中是满射矛盾这种讨 论对X中任二元素都成立，因此中是单射。 反之，设中是单射，则由于X中不同元素的象也不同，故 |(X)川=n=1Y|. 但是(X)Y,故X)=Y,即中是满射. 证毕) 本定理的一个直接结果是以下 推论如果X与Y是两个所含元素个数相等的有限集合， 则X到Y的映射中是双射当且仅当中是满（单）射. 下面来介绍映射的相等与映射的合成 定义5设o与t都是集合X到Y的映射.如果对X中每 个元素x都有 o(x)=t(x)
φ- 1 : y x , 即 φ- 1 ( y) = x 便是集合 Y 到 X 的一个双射 . 我们称 φ - 1 为 φ的逆映射 . 显然, φ - 1 的逆映射就是φ, 即 (φ - 1 ) - 1 =φ. 对两个有限集合 X 与 Y 来说, 显然它们间能建立双射的充 要条件是 | X | = | Y | , 即二者包含的元素个数相等 . 特别有 定理 2 设 X 与 Y 是两个有限集合且 | X | = | Y | , 则 X 到 Y 的映射φ是满射当且仅当φ是单射 . 证 设 | X | = | Y | = n, 且 X = { x1 , x2 , …, xn }, Y = { y1 , y2 ,…, yn }, 又 φ: xi yk i ( i = 1, …, n; 1≤ ki ≤ n) 是 X 到 Y 的一个映射 . 若 φ是满射, 则由 x1 ≠ x2 , 必有 yk 1 ≠ yk 2 : 因若 yk 1 = yk 2 , 则 φ( X) = { yk 2 , yk 3 , …, yk n } 最多有 n - 1 个元素, 因此 φ( X)≠Y , 这与 φ是满射矛盾 .这种讨 论对 X 中任二元素都成立, 因此 φ是单射 . 反之,设 φ是单射,则由于 X 中不同元素的象也不同,故 |φ( X) | = n= | Y | . 但是 φ( X) Y , 故 φ( X) = Y , 即φ是满射 . (证毕) 本定理的一个直接结果是以下 推论 如果 X 与 Y 是两个所含元素个数相等的有限集合, 则 X 到 Y 的映射φ是双射当且仅当φ是满( 单)射 . 下面来介绍映射的相等与映射的合成 . 定义 5 设 σ与τ都是集合 X 到 Y 的映射 . 如果对 X 中每 个元素 x 都有 σ( x) =τ( x ) , §2 映射与变换 9
10 第一章基■本■概■念 则称0与T是X到Y的两个相等的映射，记为 0=t 设T是集合M到M的一个映射，又o是集合M到M的 一个映射，则显然 o((x)("x∈M) 是M到M的一个映射.我们把这个映射记为or,即 t(x)=((x),（”x∈M 并称其为射的合成射的乘法，而称στ 为映射τ与o的乘积. 映射合成的这种关系可用右图表示 出来这种图在代数学中常称为交换图. 本节最后，我们来介绍一种特殊的映 射一变换 定义6集合X到自身的映射，叫做集合X的一个换 同样可定义满射变换、单射变换和双射变换.X的双射变 换也称为X的一个二一变换. 集合X中每个元素与自身对应的变换，是X的一个双射变 换，称为集合X的恒等变换， 例9设X=1,2,3,…},则 中：xx2,即(x)=x 是X的一个单射变换.但不是满射变换，因为例如正整数2在 X中就没有逆象」 又法则 o:12,21,nn(n=3,4,…) 显然是正整数集X的一个双射变换. 例10设X为数域F上全体n阶方阵作成的集合.则变换 (A)=A及τ(A)=CAC 都是X的双射变换，其中A为A的转置矩阵，而C为F上任
则称σ与τ是 X 到 Y 的两个相等的映射, 记为 σ=τ. 设τ是集合 M1 到 M2 的一个映射, 又σ是集合 M2 到 M3 的 一个映射, 则显然 x σ(τ( x ) ) ( " x∈ M1 ) 是 M1 到 M3 的一个映射 . 我们把这个映射记为στ, 即 στ( x) =σ(τ( x) ) , ( " x∈ M1 ) , 并称其为 射的合成 射的乘法, 而称στ 为映射τ与σ的乘积 . 映 射 合成 的 这 种 关 系 可 用 右 图 表 示 出来 .这种图在代数学中常称为交换图 . 本节最后, 我们来 介绍一种特殊 的映 射———变换 . 定义 6 集合 X 到自身的映射, 叫做集合 X 的一个 换 . 同样可定义满射变换、单射变换和双射变换 . X 的双射变 换也称为 X 的一个一一变换 . 集合 X 中每个元素与自身对应的变换, 是 X 的一个双射变 换, 称为集合 X 的恒等变换 . 例 9 设 X = {1 ,2 ,3 ,…} , 则 φ: x x 2 , 即 φ( x ) = x 2 是 X 的一个单射变换 . 但不是满射变换, 因为例如正整数 2 在 X 中就没有逆象 . 又法则 σ: 1 2, 2 1, n n( n = 3, 4, …) 显然是正整数集 X 的一个双射变换 . 例 10 设 X 为数域 F 上全体 n 阶方阵作成的集合 . 则变换 φ( A) = A T 及 τ( A) = CAC - 1 都是 X 的双射变换, 其中 A T 为 A 的转置矩阵, 而 C 为 F 上任 10 第一章 基■本■概■念