引 言 代数学是数学的一个古老分支，有着悠久的历史.但是，近 一百年来，随着数学的发展和应用的需要，代数学的研究对象和 研究方法发生了巨大的变化，一系列新的代数领域被建立起来， 大大地扩充了代数学的研究范围，形成了所谓的近世代数学. 大家知道，数是我们研究数学的最基本的对象，数的最基本 的运算是加、减、乘、除.但是，数并不是我们研究数学的惟 对象，而且我们所遇到的许多运算也不全是数的普通加、减、 乘、除.例如，向量、力以及多项式、函数、矩阵和线性变换等 等，它们虽然都不是数，但却也可以类似于数那样来进行运算 特别是，尽管这些研究对象千差万别，各有自己的特性，但是从 运算的角度看却有着很多共同的性质.于是，从一般的集合出 发，研究各种运算的种种性质，就具有非常重要的意义.因为它 的结论和方法不仅可以渗透到数学的各个部门，而且在其他学 科，例如在物理、化学、正交试验设计和编码等理论中都有重要 应用 一个集合，如果有一种或数种代数运算，我们就笼统地称它 是一个代数系统.简言之，近世代数就是研究各种代数系统的一 门学科.在近世代数中，尽管有时，特别是在举例时，也讲具体 的集合和具体的运算，但其最根本的任务是研究各种抽象的代数 系统.也就是说，一般讲，不仅集合是抽象的，而且所说的运算
引 言 代数学是数学的一个古老分支, 有着悠久的历史 . 但是, 近 一百年来, 随着数学的发展和应用的需要, 代数学的研究对象和 研究方法发生了巨大的变化, 一系列新的代数领域被建立起来, 大大地扩充了代数学的研究范围, 形成了所谓的近世代数学 . 大家知道, 数是我们研究数学的最基本的对象, 数的最基本 的运算是加、减、乘、除 . 但是, 数并不是我们研究数学的惟一 对象, 而且我 们所遇到的许多运算 也不全是数的普通加、减、 乘、除 . 例如, 向量、力以及多项式、函数、矩阵和线性变换等 等, 它们虽然都不是数, 但却也可以类似于数那样来进行运算 . 特别是, 尽管这些研究对象千差万别, 各有自己的特性, 但是从 运算的角度看却有着很多共同的性质 . 于是, 从一般的集合出 发, 研究各种运算的种种性质, 就具有非常重要的意义 . 因为它 的结论和方法不仅可以渗透到数学的各个部门, 而且在其他学 科, 例如在物理、化学、正交试验设计和编码等理论中都有重要 应用 . 一个集合, 如果有一种或数种代数运算, 我们就笼统地称它 是一个代数系统 . 简言之, 近世代数就是研究各种代数系统的一 门学科 . 在近世代数中, 尽管有时, 特别是在举例时, 也讲具体 的集合和具体的运算, 但其最根本的任务是研究各种抽象的代数 系统 . 也就是说, 一般讲, 不仅集合是抽象的, 而且所说的运算
2 引言 也是抽象的，因此，常把近世代数也叫做抽象代数 由于代数系统中运算个数以及对运算所要求的附加条件的不 同，从而产生了各种各样的不同的代数系统，这就形成了近世代 数中各个不同的分支，其中最基本、最重要的分支是群、环和 域，它们所研究的内容极为丰富和广泛.实践已经证明，这些理 论不仅对数学本身产生重要影响并有重要应用，而且对其他学科 也有重要影响和应用.这样一来，古老的代数学在新的基础上又 以全新的面貌和更加旺盛的活力飞速地向前发展着， 本课程的任务是，介绍近世代数中最基本的代数系统 群、环、域的最基本的概念和性质
也是抽象的 . 因此, 常把近世代数也叫做抽象代数 . 由于代数系统中运算个数以及对运算所要求的附加条件的不 同, 从而产生了各种各样的不同的代数系统, 这就形成了近世代 数中各个不同的分支 . 其中最基本、最重要的分支是群、环和 域, 它们所研究的内容极为丰富和广泛 . 实践已经证明, 这些理 论不仅对数学本身产生重要影响并有重要应用, 而且对其他学科 也有重要影响和应用 . 这样一来, 古老的代数学在新的基础上又 以全新的面貌和更加旺盛的活力飞速地向前发展着 . 本课程的任务是, 介绍近世代数中最基本的代数系统——— 群、环、域的最基本的概念和性质 . 2 引 言
第一章 基■本■概■念 本章所介绍的内容，是在以后各章中都要用到的基本概念 它们是：集合、映射与变换、代数运算、运算律、同态与同构、 等价关系与集合的分类，等 §1集合 我们在讨论问题时，在一定范围内所说的对象，例如，数、 向量、多项式、矩阵、点、直线，甚或书架上的书，桌子上的茶 杯、钢笔、铅笔等等，都笼统地称为素元· 若干个（有限个或无限个）固定元素的全体，叫做一个合， 或简称为集· 集合常用大写拉丁字母A,B,C,…,G,R,F,…等表 示；集合中的元素常用小写拉丁字母a,b,c,…,x,y,…来 表示. 如果x是集合A中的一个元素，就说x属于集合A或集合 A包含x,记为x∈A或A∈x;如果x不是集合A中的元素， 就说x不属于集合A或集合A不包含x,记为x乍EA或AEx· 不包含任何元素的集合称为空集合，记为： 今后常用Z表示整数集，Z°表示非零整数集；用Q表示有 理数集，Q表示非零有理数集·
第一章 基■本■概■念 本章所介绍的内容, 是在以后各章中都要用到的基本概念 . 它们是: 集合、映射与变换、代数运算、运算律、同态与同构、 等价关系与集合的分类, 等 . §1 集 合 我们在讨论问题时, 在一定范围内所说的对象, 例如, 数、 向量、多项式、矩阵、点、直线, 甚或书架上的书, 桌子上的茶 杯、钢笔、铅笔等等, 都笼统地称为 素 元 . 若干个(有限个或无限个) 固定元素的全体, 叫做一个 合, 或简称为集 . 集合常用大写拉丁字母 A, B, C, …, G, R, F, …等表 示; 集合中的元素常用小写拉丁字母 a, b, c, …, x, y, …来 表示 . 如果 x 是集合 A 中的一个元素, 就说 x 属于集合 A 或集合 A 包含 x , 记为 x∈ A 或 A ∈ x; 如果 x 不是集合 A 中的元素, 就说 x 不属于集合 A 或集合 A 不包含 x , 记为 x ∈/ A 或 A /∈x . 不包含任何元素的集合称为空集合, 记为 . 今后常用 Z 表示整数集, Z * 表示非零整数集; 用 Q 表示有 理数集, Q * 表示非零有理数集
4 第一章基■本■概■念 要指明一个集合是由哪些元素构成的，可以用列举法，例如 A=1,3,5},B={东，西} c=1分时子… 有时也可以用描述法，例如 E=全体自然数}，F={xx是实数且x2<1} 定义1如果集合A的每个元素都属于集合B,则称A是B 的一个集，记为AB. 如果A是B的一个子集，又B中有元素不在A中，则称A 是B的一个真子集，记为AB. 空集合被认为是任意集合的一个子集· 当集合A不是集合B的子集或真子集时，分别记为AǚB 或AàB. 显然，AB意味着AB或A=B(即A与B是由完全相 同的元素作成的集合).一个虽然简单但却非常重要的事实是： A=B当且仅当AB且BA. 因此，要证两个集合A与B相等，常需证明AB且BA, 即A与B互相包含.这个事实虽然简单，但它却是贯穿到整个 近世代数中的一个一般方法. 如果把集合A的每一个子集当成一个元素，则A的所有子 集包括空集)也作成一个集合，称为A的集，记为P(A), 如果集合A包含无限多个元素，则记为|A=∞；如果A 包含n个元素，则记为A=n.于是易知，当|A=n时有 |P(A)川=2”. 定义2由集合A和集合B的所有公共元素构成的集合， 记为A∩B,叫做A与B的集，简称A与B的交. 例如，集合A=0,1,2,3}与集合B=0,2,4}的交为 A∩B=0,2}
要指明一个集合是由哪些元素构成的, 可以用列举法, 例如 A = {1 ,3 ,5}, B = {东, 西}, C = 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 ,… ; 有时也可以用描述法, 例如 E = {全体自然数}, F = { x | x 是实数且 x 2 < 1} . 定义 1 如果集合 A 的每个元素都属于集合 B, 则称 A 是 B 的一个 集, 记为 A B . 如果 A 是 B 的一个子集, 又 B 中有元素不在 A 中, 则称 A 是 B 的一个真子集, 记为 A B . 空集合被认为是任意集合的一个子集 . 当集合 A 不是集合 B 的子集或真子集时, 分别记为 A ň B 或 A à B . 显然, A B 意味着 A B 或 A = B( 即 A 与 B 是由完全相 同的元素作成的集合) . 一个虽然简单但却非常重要的事实是: A = B 当且仅当 A B 且 B A . 因此, 要证两个集合 A 与 B 相等, 常需证明 A B 且 B A, 即 A 与 B 互相包含 . 这个事实虽然简单, 但它却是贯穿到整个 近世代数中的一个一般方法 . 如果把集合 A 的每一个子集当成一个元素, 则 A 的所有子 集(包括空集) 也作成一个集合,称为 A 的 集,记为 P( A) . 如果集合 A 包含无限多个元素, 则记为 | A | = ∞; 如果 A 包含 n 个元素, 则记为 | A | = n . 于是易知, 当 | A | = n 时有 | P( A) | = 2 n . 定义 2 由集合 A 和集合 B 的所有公共元素构成的集合, 记为 A∩ B, 叫做 A 与 B 的 集, 简称 A 与 B 的交 . 例如, 集合 A = {0 ,1 ,2 ,3}与集合 B = {0, 2, 4}的交为 A∩ B = {0, 2} . 4 第一章 基■本■概■念
§2映射与变换 但是，集合A与集合C=4,5,6}的交为空集合，即 A∩C= 定义3由属于集合A或集合B的所有元素作成的集合， 记为AUB,叫做A与B的集，简称A与B的并. 例如，集合A=0,1,2,3}与集合B=0,1,-2,-3}的并为 AUB={-3,-2,0,1,2,3}. 对于两个以上甚至无穷多个集合，也可以类似地定义其交与 并 容易推出，集合的交与并有以下性质： 1)AN A=A,AUA=A; (幂等性) 2)A∩B=BnA,AUB=BUA; 交换性) 3)A∩B)∩C=An(BnC, AU(BU C)=(AU B)UC; (结合性) 4)A∩(BUC=(AnB)U(A∩C AU(BnC)=(AU B)n(AUC) (分配性) 习题1.1 1.证明本节的等式4). 2.若AnB=AnC,问：是否B=C?把n改成U时又如何？ 3.设A是有限集合，且|A川=n.证明： |P(A)|=2" 4.设A,B是两个有限集合·证明： IAUB+|AnB=|A川+IB. 5.设A,B是两个集合，称集合 A-B=fada∈A,a|By 为A与B的集.特别，当YX时，用Y表示X-Y,并称为Y在X中 的集.证明德·摩根(A De Morgan,1806~1871)律：若A,BX,则 (AU B)'=A'n B,(AN B)'=A'U B
但是, 集合 A 与集合 C = {4, 5, 6}的交为空集合, 即 A∩C = . 定义 3 由属于集合 A 或集合 B 的所有元素作成的集合, 记为 A∪ B, 叫做 A 与 B 的 集, 简称 A 与 B 的并 . 例如, 集合 A = {0 ,1 ,2 ,3}与集合 B = {0, 1, - 2, - 3}的并为 A∪ B = { - 3, - 2, 0, 1, 2, 3} . 对于两个以上甚至无穷多个集合, 也可以类似地定义其交与 并 . 容易推出, 集合的交与并有以下性质: 1) A∩ A = A, A∪ A = A; (幂等性) 2) A∩ B = B∩ A, A∪ B = B∪ A; (交换性) 3) A∩ B)∩C= A∩( B∩C) , A∪ ( B∪C) = ( A∪ B)∪C; (结合性) 4) A∩ ( B∪C) = ( A∩ B)∪( A∩C) , A∪ ( B∩C) = ( A∪ B)∩( A∪C) . (分配性) 习题 1.1 1. 证明本节的等式 4) . 2. 若 A∩ B = A∩C, 问 : 是否 B = C? 把∩改成∪时又如何 ? 3. 设 A 是有限集合 , 且| A| = n . 证明 : | P( A) | = 2 n . 4. 设 A , B 是两个有限集合 . 证明 : | A∪ B| + | A∩ B| = | A| + | B| . 5. 设 A , B 是两个集合 . 称集合 A - B = { a| a∈ A , a | B} 为 A 与 B 的 集 . 特别 , 当 Y X 时 , 用 Y′表示 X - Y , 并称为 Y 在 X 中 的 集 . 证明德·摩根 (A .De Morgan ,1806～1871)律 : 若 A , B X , 则 ( A∪ B)′= A′∩ B′, ( A∩ B)′= A′∪ B′. §2 映射与变换 5