前 言 本书是作者在长期教学实践的基础上，参考国内外大量相关 教材、专著、文献并吸纳个人一些科研成果，编写而成， 全书共六章，可大致分为三个部分 第一部分，包括引言和第一章基本概念，它是全书的基础， 在以后各章都要用到，应予以充分重视； 第二部分，包括第二、三两章，介绍含一个代数运算的群的 理论·其中第二章介绍群的最基本的知识；第三章则进一步介绍 正规子群和群的同态与同构，以及和它们相关联的群论中最基本 最重要的定理，如群的同态和同构定理，共轭、正规化子和中心 化子，Sylow定理和有限交换群基本定理等等； 第三部分，包括第四、五、六三章，介绍含有两个代数运算 的环与域的理论，其中第四章介绍环的基本知识；第五章介绍环 论中一个特殊问题一惟一分解整环内的因子分解理论，并由此 介绍了两种特殊的环类，即主理想整环和欧氏环；第六章介绍 域，一种加强条件的环，并且主要介绍代数扩域，特别是有限次 扩域和有限域 本书取材广泛，有的高校若教学时间不够，有些内容，例如 多项式环、环的直和、非交换环、惟一分解整环的多项式扩张、 可离扩域或其它内容，可粗讲或不讲，或只详述结论而略去证 明·本书每节都配备有习题，其题量和难度比较适中，个别稍难
前 言 本书是作者在长期教学实践的基础上, 参考国内外大量相关 教材、专著、文献并吸纳个人一些科研成果, 编写而成 . 全书共六章, 可大致分为三个部分: 第一部分, 包括引言和第一章基本概念, 它是全书的基础, 在以后各章都要用到, 应予以充分重视; 第二部分, 包括第二、三两章, 介绍含一个代数运算的群的 理论 . 其中第二章介绍群的最基本的知识; 第三章则进一步介绍 正规子群和群的同态与同构, 以及和它们相关联的群论中最基本 最重要的定理, 如群的同态和同构定理, 共轭、正规化子和中心 化子, Sylow 定理和有限交换群基本定理等等; 第三部分, 包括第四、五、六三章, 介绍含有两个代数运算 的环与域的理论 . 其中第四章介绍环的基本知识; 第五章介绍环 论中一个特殊问题———惟一分解整环内的因子分解理论, 并由此 介绍了两种特殊的环类, 即主理想整环和欧氏环; 第六章介绍 域, 一种加强条件的环, 并且主要介绍代数扩域, 特别是有限次 扩域和有限域 . 本书取材广泛, 有的高校若教学时间不够, 有些内容, 例如 多项式环、环的直和、非交换环、惟一分解整环的多项式扩张、 可离扩域或其它内容, 可粗讲或不讲, 或只详述结论而略去证 明 . 本书每节都配备有习题, 其题量和难度比较适中, 个别稍难
Ⅱ 前言 题目都有提示，各校可根据不同情况择题而作 本书承蒙我国数学家、中科院院士万哲先研究员和我国数学 家、中科院院士王梓坤教授推荐出版，并承蒙我国数学家、北京 师范大学博士生导师刘绍学教授撰写序言，作者由衷地对他们表 示最诚挚的感谢！ 作者才疏学浅，书中错误和疏漏之处恐在所难免，恳请读者 批评指正· 作者 1999年5月
题目都有提示, 各校可根据不同情况择题而作 . 本书承蒙我国数学家、中科院院士万哲先研究员和我国数学 家、中科院院士王梓坤教授推荐出版, 并承蒙我国数学家、北京 师范大学博士生导师刘绍学教授撰写序言, 作者由衷地对他们表 示最诚挚的感谢 ! 作者才疏学浅, 书中错误和疏漏之处恐在所难免, 恳请读者 批评指正 . 作 者 1999 年 5 月 Ⅱ 前 言
目 录 引言… …1 第一章基本概念……3 §1集合… … 3 S2映射与变换…5 §3代数运算…12 S4运算律…15 §5同态与同构 20 §6等价关系与集合的分类… 24 第二章群…30 §1群的定义和初步性质… §2群中元素的阶 §3子群… §4循环群…50 §5变换群… §6置换群…61 S7陪集、指数和Lagrange定理… 70 第三章正规子群和群的同态与同构……81 §1群同态与同构的简单性质…… 81 §2正规子群和商群…86 §3群同态基本定理……95
目 录 引言 ………………………………………………………………………… 1 第一章 基本概念 ……………………………………………………… 3 §1 集合………………………………………………………………… 3 §2 映射与变换 ……………………………………………………… 5 §3 代数运算 ………………………………………………………… 12 §4 运算律 …………………………………………………………… 15 §5 同态与同构……………………………………………………… 20 §6 等价关系与集合的分类 ……………………………………… 24 第二章 群 ……………………………………………………………… 30 §1 群的定义和初步性质 ………………………………………… 31 §2 群中元素的阶 ………………………………………………… 39 §3 子群 ……………………………………………………………… 45 §4 循环群 …………………………………………………………… 50 §5 变换群 …………………………………………………………… 56 §6 置换群 …………………………………………………………… 61 §7 陪集、指数和 Lagrange 定理 ……………………………… 70 第三章 正规子群和群的同态与同构 ……………………………… 81 §1 群同态与同构的简单性质 …………………………………… 81 §2 正规子群和商群 ……………………………………………… 86 §3 群同态基本定理 ……………………………………………… 95
目录 S4群的同构定理…101 §5群的自同构群…105 §6共轭关系与正规化子…111 §7群的直积… 118 *§8Syl0W定理…126 *§9有限交换群…135 第四章环与域…147 §1环的定义…147 §2环的零因子和特征……156 S3除环和域…165 §4环的同态与同构… 170 §5模n剩余类环……175 §6理想… 181 §7商环与环同态基本定理…190 §8素理想和极大理想 194 §9环与域上的多项式环…200 *§10分式域…205 *S11环的直和……209 *§12非交换环…218 第五章惟一分解整环 …225 §1相伴元和不可约元……225 §2惟一分解整环定义和性质 230 S3主理想整环…235 §4欧氏环 239 *§5惟一分解整环的多项式扩张……241 第六章域的扩张……248 §1扩域和素域…248 §2单扩域…253 §3代数扩域 …258
§4 群的同构定理 ………………………………………………… 101 §5 群的自同构群 ………………………………………………… 105 §6 共轭关系与正规化子 ……………………………………… 111 *§7 群的直积 ……………………………………………………… 118 *§8 Sylow 定理 …………………………………………………… 126 *§9 有限交换群 …………………………………………………… 135 第四章 环与域 ………………………………………………………… 147 §1 环的定义 ……………………………………………………… 147 §2 环的零因子和特征…………………………………………… 156 §3 除环和域 ……………………………………………………… 165 §4 环的同态与同构 ……………………………………………… 170 §5 模 n 剩余类环 ………………………………………………… 175 §6 理想……………………………………………………………… 181 §7 商环与环同态基本定理 …………………………………… 190 §8 素理想和极大理想…………………………………………… 194 §9 环与域上的多项式环 ……………………………………… 200 *§10 分式域 ………………………………………………………… 205 *§11 环的直和 ……………………………………………………… 209 *§12 非交换环 ……………………………………………………… 218 第五章 惟一分解整环 ……………………………………………… 225 §1 相伴元和不可约元…………………………………………… 225 §2 惟一分解整环定义和性质 ………………………………… 230 §3 主理想整环 …………………………………………………… 235 §4 欧氏环 ………………………………………………………… 239 *§5 惟一分解整环的多项式扩张 ……………………………… 241 第六章 域的扩张……………………………………………………… 248 §1 扩域和素域 …………………………………………………… 248 §2 单扩域 ………………………………………………………… 253 §3 代数扩域 ……………………………………………………… 258 Ⅱ 目 录
目录 Ⅲ §4多项式的分裂域…265 S5有限城…270 *§6可离扩域…276 本书所用符号…288 名词索]引…290 参考文献…295
§4 多项式的分裂域 ……………………………………………… 265 §5 有限域 ………………………………………………………… 270 *§6 可离扩域 ……………………………………………………… 276 本书所用符号 …………………………………………………………… 288 名词索引 ………………………………………………………………… 290 参考文献 ………………………………………………………………… 295 目 录 Ⅲ