线性代数，复变函数·领率统计习通全解（下舞）酶 第二章随机变量及其分布·习恩全解 45 X?的聚率密度。 F(o)=Pw≤-P2<w-Pn≤受 限题限安是的复率皮我四-杂家=水络装卡 帝度 -P9<1≤√受=Fua 南y一得-A)-且水)子交直楼自定里 1 -=N层- Y的腰率帝度为 0》-,方水.-m<<+ 故 m)-4金.1e<w<22 0. 其余 (2Y-X≥0→当y<0时，Y≤y=eF心)=0e(心)=0 36⊙33某物体的温度T(下)是一个随机变量，且有T一N(98.6,2),试 求下)的餐率密度，已知0一(5/9)(T一32). 当y>0,F)=PY≤》=PX名} 解9的分布函数 -Po<x≤5-1万fu油-1万。a Px)-PG<-P号(T-32)<1=PT<号r+32) 00)-)-。万 2√y -万 所以 fr)-2√y 万，>0 2左。学 0. y≤0 则摄率帝皮为 34⊙3引设随机变量X的概半密度为x)= 【,其余 “07后黄以，-m<<+m a)==9 inX的餐率密度。 解当x∈(0)时，0<y≤1.则当y≤0或y>1时，F(y)=0或 y)=1→f》=0 当o<y≤I时F(》=P(sinX<y) =P(X<aresiny)P[X>-aresiny -草+八一草d 手机响了，短信来了： F)-S)-是·einy 考议周的帮网：有考有.抓抓抓，钱钱钱，钱视 ,0<y1 钱Game Over. 0。 其余 35⊙32设电流1是一个随机变量，它均匀分布在9安一11安之同，若此 电流通过2默的电阻，在其上柄耗的功率W一2P,求W的腰率密度， 0 其余 当g<1<11时，由W-2P知，162<W<242
第三多维随机及其分布·平学 47 x积分健“满发”了，口快中的“养”字电可以是求级数，例如，P一∑，左 路=边，右端一将联P,中与X相关的1求和就“落发”了其余公式类献。 第三章 多维随机变量及其分布 口快条=赞 含义，例如，/x(y)一，左端=条件概率帝度条，公式右分 嫩情包合本久的失里】 、子义贤合存市度二联：有分母一边终概率酱堂三边其余公大类似联 联一边×边 一卡莱尔 义：若(X,Y)一F(x,y),且X与Y独立，则F(xy)=Fx()F(y),类慰 还有其余公式，详见本意知识结构部分。 口决：投有头绪时，抓住联合。 南导学 含义：本章有相当数量的题日，设有头储时，只要一求出联合，就会心里有 能联合如同一般等价物 一钱，如同换乘火军的首都北京。 一引微入概工程之多维篱 引微人鞭工程，在第二章是一步一个脚印，用了81、52.多3和84节，这 本章52至5的符号推进次序， 占据了第二章篇幅的绝大都分，第二章的基础打得牢，到第三章就可以超速” Fx(x)→P.+fx(x)-P{X=|Y=y》 了，第二章的草1一等4节对应第三章号1节， mu-器：Prul)一 本章黄1传的持号的推谁次序为 Pw-pP,→z-X+y→maxx,Y)+minx.y (x,Y)→{x≤Y≤y)→F(xy)fxy)(X,Y)∈G 有关符号的说明 当X-X()的定义域S1,Y一Y(e》的定义城为S:,则X,Y能组成联系二 手机响了，短信来了： 堆分布(XY)的前提：S1一S, 《X名x,Y≤￥}中的逗号，“相当于门“. 章W了F(x,y),Pu或f(x,y)之一，就可认为在统计意义上完全攀握了 欠债 (X,Y),F(xy)与P(或fxy)知道了一个，就可以求出另一个 使用公式P{(X,Y)∈G)-f(x,y)drdy的关健是把G的图形画出来 “我高数大情了.” 本章理多的箱幅，放在多推情形独有的特色上，§2介绍了(X,Y)与X或】 “补” 的关联：等3和54把第一章的“条件”和~独立”等瓶念，引人随机变量的“王 “两静书？” 国”中，本章公式虽多，是现出明显的规律性，见本章知识结构部分，多5只介绍 了三种情形，每种情形虽有多个公式，但抓牢一个，知道如何类比得到其余公式 “缺什么，补什么，二重积分计算得熟！ 即可，推导这三种情形公式的原始方法要熟，这样，眼使到三种情形之外的新 “可我一重机分计算都不太热， 于都分初学者，尤其对二重积分没学好的初学者而言，本章成了一只拦 “补，没有退路” 路虎以下介绍的一些口快，对硫理各种关系有用，但《高等数学)上欠债多的同 学，得恶补！ 口快：边=把联中另一个“弄”掉 含义钢知)=fy)d,左端一边右喻一将联xy)中变元
48 钱性代数·复变函数·概率统计习通全解（下桥） 第三章多维随机变最及其分布·习题全解 49 网本章知识结构 郎习题全解 车F,-PXz,Y外r=PX=Y=为 康：1-广 3.1 二维随机变量 SG:PI(X.Y)EG)=f(z.yidndy 1.1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取 世快爱有失母时，杯住展台 一具，考邀两种试验：(1)放回抽样，(2)不放回抽样，我们定义随机变量XY如下 Px的-F,+)2rR=F+m,y X一0若第一次取出的是正品 1,若第 ,- 试分别就(1)(2)两种情况，写出X和Y的联合分布律， -ef 要点明丁(X,Y)的全那取值（工，”），再逐个计算，=P(X一x,Y-y 口头进轮联中男一“开”排 解(1)故回抽样时 P(X-0)-10/12-5/6,P(X-1)=2/12-1/6 PY=0)=10/12=5/6,PY=1)=2/12=1/6 pr-i-是hm-0 Px-0y-o)-88-票.Px-0y-1-8是-品 oricrarti-frid PX=1,Y=01=品=最，PX=1Y==是餐品=品 于是(X,Y)的分布律为 Y X 0 1 25365/36 3， Fa,y》-Fx(aP(2z=xar网 5/361/36 (2)不故回抽样，则P{X一0=5/6，P(X一1}一1/6，在第一次抽出一正品 后，第二次抽取前的状态，正品9个，次品2个，故 IZ-X+Y PY-01X-0-是，PY-1X-o时-盖 fa(a)-n-3.y -fscfru-ode 同理 PY=o1x=1-品.PY=1IX=1=古 且P(x=i,Y=}=P(Y=|X-P{X=)d=0,1j=0,1 aX,Y]. 则(X,Y)的联合分布律为 F-.()-Fx()Fy() 45/6610/66 F-1-, 10/661/66 [-Ex 20将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出观正面的次数，以Y表示三次 [I-Fr()] -[-Fr. 中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律 解X的所有可能取值为0,1,2,3，Y的所有可能取值为1,3 Z-XY (X,Y)的所有可能取值为(0,1)，(0,3)，(11)，(1,3).(21)，(2.3)，(3,1) (3,3).X服从二项分布6(3,1/2)，其分布律为 PXk}=C1/2)(1/2)3-,k=0,1,2,3
50 线性代数·复变函数·概率烧计习盾全解（下扬） 意第三章多维随机空意及其分布·习题全 51 P{X=0Y-11-P(②)=0 53设随机变量(X,Y)的概率密度为 Px=0,Y=3=P4x=0)=(3广=合 f(z.y)= 14(6-x-y),0<x<2,2<y<4 0, 其余 Px-1.Y==Px=1)-cz)川)'-音 (1)确定常数： P1X=1,Y=3}=P()=0 (2)求P(X<1.Y<31 (3)求P(X<1.5, Px=2.￥=1=Px=2)=c)(2)=是 (4)求P(X+Y≤} 要点1确定落数，启用f(.ydrdy=1: P4x=3y=31-Px=3)-c2)'=言 z用重套公式，PX.Y∈Gl-f(.y)dady 由此得X和Y的联合分和律为 3复习二重积分计算 23 解)由f(r.y)drdy=1可知 3783/8 0 1/8 0 1/8 (6-x-ydd=1→&=音 3°2盒子里装有3只黑球、2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表 示取到佩球的只数，以Y表示取到红球的只数，求X和Y的联合分有律， 2Px<1.Y<3=那言6-adr=是 X的所有可能取值为0,1,23，Y的所有可能取值为0,1,2S中基本事件 个数为 C=35 (3Px<1.5-∫言6-ard-3 (4)P(X+Y4}=P(X4-Y) Px-0.-2- =g'音6-玉“dy-号 P{x-1,Y-)-Pta)-0 S3.2边缘分布 px=1.y=1=g=元 Px=1Y=2-9-品 04将一枚硬币投挪3次，以X表示前2次中出现H的次数，以Y表示3 次中出现H的次数，求X,Y的联合分布律以及(X,Y)的边榛分布律 Px=2.Y=01-G9- 解(X,Y)的所有可能数值为(0,0)，(0,1).(0,2)，(0.3)，(1,0)，(11)， (1,2),(1,3),(2,0),(2,1).(2,2),(2.3).取这些值概率分别为 p4x=2.y-1-Cg9-号 Px=0.Y=o1=c(}('=音 Px=,Y=引-C弩- Px=0.￥=1=c9))是=8 P(X=0.Y-2}-P()=0 P{X=0,Y=3}=P(必)=0 P(x-1,Y-0-P(@)-0 P{X=3.Y=2)=P{0}=0 P(x-1.Y-1)-C××合×是-音 于是，X,Y的联合分布律为 0123 P(x=1.y=2)=Cx子×之×=是 P(X-I.Y-3)P(0)-o 0 m3/35 21/35 P(x-2.Y-0-P()-0 P(X=2.Y=1冫=P(G)=0 P(Xm2,￥m2)=C月×1/2×1/2-1/8
52 线性代数·复变话数·展率统计习避全解（下龄）富 第三多随机变量及其分有·习题金解 53 PX-2,Y=3■C×1/2×1/2=1/8 则X和Y的联合分布律为 4 P(F 1/100 1/10 1 2 PY=》 4/102/101/10 7f10 20 0 1/8 0 0 1/8 Pui00208 1 1/8 2/8 0 3/8 6⊙0(1)求第1题中随机变量(X,Y)的边缘分布律，(2)求第2题中随机变 量(X,Y)的边缘分布律， 0 2/8 1/8 3/8 4)第1题中，放回轴样.X和Y的联合分布律为 3 0 0 1/8 1/8 P(X=) 1/4 2/4 1/A 1 y 0 1 0 25/365/36 关手X,Y的边缘分布律分别为 15/361/36 PIX-0-PX-iY- 类于X的边像分布律为 1 PY==P(x=,Y= PX676176 关于Y的边缘分布律为 例如，纵向0+2/8+2/8+0=2/4横向1/8+2/8+03/8 0 4⊙0一整数m等可能地在1,2,3，.，10十个值中取一个值.投d=(n)是 PY-》5/81/6 能整除的正数的个数，F一F()是能整除的素数的个数（1不是索数）。 第1题中，不教回抽样。X和Y的联合分布律为 试写出d和F的联合分布排。 0 解 一整数n等可侧地在12,3.，10的十个值中取一个值，样本空间S一 0 45/6610/66 (1,2,10},d和F的所有可能取值列人下表。 L10/661/66 m12345678910 关于X的边缘分有律为 324 434 0 P()0 111121112 PX=15/61/6 关于Y的边分存排为 d()的所有可能取值为1.2,3,4：(n)的所有可能取值为0,1,2.(d,F)的所有可 能取值为(1.0)，(1,1)，(1.2)，(20)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3.1)，(3.2)，(4,0) 01 (4,1),(4,2).取各个值概率分别为 PY=)言 Pd=1,F=0)=1/10,P{d=1,F=1)=0 (2)第2魅中，关于X的边缘分布为 P(d=1,F=2}=0. P{d=2,F=01=0 0 Pd=2,F-1)-4/10,Pd=2,F=2)=0 PX=01/83/83/81/8 P{d=3.Fw0)=0, Pd=3,F=1)=2/10 关于￥的边缘分布律为 P{d=3,F=2)=0, P(d4,F=0)=0 3 P{d-4,F=1)=1/10.Pd=4,F=2}=2/10 PY=》341/A 则d和F的联合分布律为 7.5投二维随机变量(X,Y)的领率密度为 -.8y2- ), 0≤x写10≤y≤x 其余 求边缘概率密度