54 线性代数·复变属数·餐率镜计习通全解（下普）拿 囊第三车多维随机变量及其分布·习整全解 55 要点本题及接下来的两思，使用公式 u)-fay及o)=fad fr)= 经n,0≤≤ 其余 算a=L-及u海 53.3条件分布 上面口及口由设可查到，对y积分时，将工看微数，另一公式类触。 fx()=f(r.y)dy=厂4.8(2-xdy=24r(2-x) 109等将某一医药公司9月份和8月份收到的青等素针利的订货单数分别记 为X和Y,据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为 0, 其余 51 52 53 54 55 f万心)-f(r.y)dr-∫厂48(2-xdx(性意到0≤y<xG1D 51 0.06 0.0s0.050.010.01 =2.43(3-4y+y2) 52 a 001 0.01 53 0.05 010 0.10 0.05 0.05 54 0.05 0.02 001 001 0.0 55 0.05 -0徐了宋边峰程率度。 (1》求边球分布律： (2)求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律. 解由xx)-rf(r.y)dy知：当>0时x)=广edy-e 当x≤0时，庙于fxy）-0→r）-0. 美点本慧及接下来的网医使用口快：边=无联中另一无元界黎，条一器 0)=f(r.y)dr,当0<y时，)-ed=3e7,当y≤0时 边一聚，联=边×条联”是换采大车的百都北京 fr(y)-0. 为PX-a-PK=Y= 解 于是，边绿最率帝度为 h=a- P-Px-五Y= 其余 - 9⊙7设二维随机变量(X,Y)的额率密度为 得其边缘分布律为 2、反y1.(1)试确定含数c:(2)求 x51525354药 Y5152535455 其余 m0.180.150.35a.12a.20ma28a28a22a.090.13 ()r.ydrdy-1→ 由条件分布律公式：P(X一x,Y=51)=P(X=Y=511/PY-5I 不d=1= 得条件分布律为 (2)当≤1，即-1≤x1时， 引555455 Px-Y-51)5/287/2g5285285/28 ✉=4-1-内 山9以X记某医院一天出生的婴儿的个数，Y记其中男要的个数，设X和 当2>1时f(x)-0 Y的联合分布律为 当0≤y1时0=h=” Px=.y-m-"166二.m=0,12m 》1 m-012, (1)求边分布律：(2)求条件分布律： 故X,Y的边缘率密度为 (3)特别，写出当X=20时Y的条件分布律。 解(1)边峰分布律 f()= 0 其象 -2rx-r-1-9
56 线性代数·复变函数·顺来统计习题全解（下香）察 意第三章多维随机变量及其分布·习题全解 -21是T10w660 解由第日。7题知 -2c.1406,86-片0.14+6.86 f(y) ∫x",2≤y<1 -4,m=01,2. 0 其余 PY-m1-2rx=Y-m-2822 -.-1：≤1 0, 其余 -2"业· (6.86)4== y)= ,o<y<1 二"心宫4 0, 其余 以下用公式条= -2前 "31m-tw.142m-0.12. (Dfcel)=器 榨上 (2)条件分布神 -g-5<<6.0<1 P(X -nlY -m)-PIXTY=m 0. 其余 √a -t"C686nn-mm+1, 0, 其余 PIY -mlx-1- m(-器吉<1 0 其余 -g9iw -c( 其余 =Cg(0.51)“(0,49)=“,m=0,1,.n (3)PY-wlX=20}-C(051)(0,49)0-,m=0.1,.,20 (-引-器， 0。 其余 12°10求1例1中的条作分布律P(Y1X=) PW>x=1-月m-月器-i 解由公式PX=刊=2PX-=:‘-1234 v>1x=-gr-g-月是- rX=1)=PX-21-P(X=31-P4X=4小=1/4 由公式PY=1X一)一P(Y，X一/PX一)得条件分有 14⊙12设随机变量(X,Y)的紧率密度为 1 12 PY-x=2引/22 其渝 PIY =EX-1)1 求条件懂率密度fx心z),fxr(rly)。 123 1234 PY-x=3)1/闪/31/3 PY=x-414//四4 解边缘x-fu-∫1-，0<：<1 13o11在第7题中.(1)求条件概率密度/x,(xy),特别，写出当Y=号时 hy)-fr.y:-fldr -1-lyl.-1<y<I fnx(ylx)=f(ry)/fx(r) X的条件概率度：(2)求条件概率墙度rx(yx),特别，分别写出当X=1/3,X =1/2时Y的条件概率密度：(3)求条件概率P(Y≥子X-是，PY≥是X o1-2,m<:<1 0, 其余
58 线性代数·复变面数·横率统计习想全解（下前）雪 香第三东多维随机变青及其分布·习题全解 59 fx(rly)=f(r.y)/fr(y) 则 Y的摄率密度为f心)= 之e,y>0,X和Y的联合概率度：(2 、0 其余 设含有。的=次方程为云十2。+y试球：有实根的气华 y≤0 解(1)依题春.X一V(0,1).有 $3.4相互独立的随机变量 fx)=0.其余 1,0<x<1 15⊙13(1)问第1思中的随机变量X和Y是否相互独立？(2)问第14题中 由于X和Y相互独立，因此X和y的联合概事密度为 的随机变量X和Y是否相互独立？ 要点 本题及后面三恶的口快，独立→联一边×边 fr)-f().ny)<<1.0 1)二维离散型随机变量X和Y独立的充要条件为P{X=,Y一y, 其余 =PX=xPY一，对一切 (2)方程a2+2Xa十Y=0有实根的究要条件为4=4X3一4Y≥0.即X 故回抽样，美于X和Y的边缘分布律分别为 ≥Y,于是方程有实根的概率为 PY≤Xey=If(z.yrdy-aeay P(X=i 5/6 1/6 0 -1-V2m((1)-(0)-0.1445 PlY=i S/6 1/6 0~15进行打靶.设弹着点A(X.Y门的坐标X和Y相互独立，且都服从 由于PX=0,Y=0}-25/36,P{X=0)PY=0)=25/36, N(01)分布，规定点A落在区域D,-(xy)z十y≤1)得2分：点A紫在D 所以 P(X=0,Y=0)=P(X=0PY=0} ={x,y11<x+y2≤4)得1分：点A落在D=(xylx+>4}得 同样可得对一切i,可=0,1，都有P(X-,Y=》=P(X=P(Y=》,因此X 分，以2记打爬的得分.写出X,Y的联合概率修度，并求2的分布律 发高公n火边 所有可能取值为0,1,2 和Y为相互独立的随机变量。 不敏回搞样.关于X和Y的边缘分布律分别为 是u=eo)-宏f·宏f-品 PX=i 5/6 1/6 Pz=21=rx+rn≤1-f(r.y)rdy-六e-idng 2+ 5/6 1/6 dofre-Fdr-1- 由于P{X-0.Y=0}=45/66.P{X=0}P{Y=0)=25/36. 所以 P(x=0,Y-0)≠P{X=0)PY=0} P2=1=P1≤X0+n≤41-f(dzd 由此可判断X和Y不相互独立。 -Iterdrdo (2)由第12题知 f=.<,0<<1 dofre-fdr -e4-e 0,其余 -任 0<x<1 P2=01-P1X+YP>4}-1-PX+Y≤1}-P16X+≤4 2的分布律为 1-(1-。)-(e-e)=e o- lyl<1 Z0 其余 m2e-e81-生 因为f(xy)≠fx(x)f(),对-切xy,所以X和Y不相互孩立， 17⊙16设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 16⊙14设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布， fxcz)o. (Ae0 -0
60 线性代数·复变函数·辰率统计习题全解（下滑）邮 霜第三章多雄陆机变量及其分布·习题全解 61 其中A>0,“>0是常数，引人随机变量 1,当X≤Y -28 设各周的篇要量是相互独立的，试求(1)两周：(2)三周的需要量的概率嗜度。 (1)求条件檀率密度fxr(zy),(2)求艺的分布律和分布函数。 解(1)因为X和Y相互独立· 集-28x-828 0。 f(y)=f()fy)- ∫eu+3,x>0,y>0 设剥周的需要量为2，则2一X:+X, 0, 其余 0f(e)-[fx,(n)/x (-)dn-re-(s-F)e-u-n'dr mu-8-28 x60 =e-=货 (2)P(Z -1)-P(X <Y)-wdrdy 当忘0 f2(e)=0 -广e水eddy-ew 一e)dy 故 o-资>0 -e4-ewy-1-本= (2)设M为三周要量则M-之十X ￥≤0 P2=01-1-a十= 当用>0时， 放的分布律为 )(n -)e-t-odede 201 当m≤0时，/(m)-0 于是f(m) m.m>0 5 0, <0 019设随机变量(X,Y)的概率密度为（图 e)=xf0≤<1 3-1) ≥1 f(ry)= 之(x+y)e-,x>0,y>0 其会 S3.5两个随机变量的函数的分布 (1)问X和Y是否相互独立？(2)求2=X+ 图3-1 Y的颜率密度。 1817设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 e=6:0o)=0其8 =e*(x+1) 求随机变量2一X+Y的概率密度。 x忘0时，fx(x)=0 解X与y相互孩立，2一X十y的率密度为 y>0时，r(y)广f(x,ydx-号e-(y+1D fa(e)-()(-xdr y≤0时(y)-0,x()·r(y)≠f(x,y) 当0<<1时e)-ed=1-e 故X和Y不是相互独立的 当e≥1时，fe)-八e-d=e-1e一 (2)/()fx-)d由f(xy)的定义知 当：<0时，由于fx(e)=0知，J/z()=0 1-,06x≤1 当>0时， 故 )-e-1e, re)-(r+-ed一是∫edr=e 1918某种商品一周的需要量是一个随机变量，其率密度为
62 线性代数·复变函数·短率统计习题全解（下斯） 意第三章多煌随机变量及其分布·习选全解 63 ->0 F 批金 电-+款言 20.0设X和Y分别表示两个不同电子器件 的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从可 0：<1 100 综合表示为 Fz(e)-{2, 分布，其概率帝度为（图3-2）. f()= 1e00.￥>1000 其杂 告：0<<1 求2一X/Y的氧率密度 1000 则2。文的概率密度为 解设F(和2()分别表示2-登的分 图3-2 《0,其余 布函数和概率密度。X和Y的联合概率密度为 解法2用公式直接求f2(). ,￥>1000，y>1000 f()-fx(ye)f(y)lyldy 其余 当：<0时，f2(x)=0:当0<：<1时，同时有y:>1000,y>1000,则被积函 解法1首先求Fz(x),然后求f2(). 数不等于零，联立y>1000和y>1000得：y>1000,于是 当z≤0时，Fz(e)一0，当0≤x<1时，则 Fe)-Pz<-P(作小-a2a e)-2=1-是 -e1-川 当2≥1时，联立y>10和y>1000得y>100,于是 -(190-4e024y -婴1g四=1my=a -=名： 棕合表示为 ()- 当会1时，则 221 a-2+广a 其 21.20设X:Yy是相互独立的随机变量，它们都服从正态分布N(0,),试 -1+ 验证随机变量2=√X十Y:具有概率密度 1oo(-川 e-，≥0>0 0, 其余 100*001000)+ 我们称2服从参数为a(a>0)的瑞利(Rayleigh)分布， 证明已知X和Y独立同分布，于是 100o0dy f(z,y)-fx(r)fr(y)=- 1,+ 2x 。立-特 V2x 而 2=x:+Y ow( ：<0时，{2)= Fz(x)=P2≤}=P(⑦}=0，f:(x)=0 =10o(-1000+1000]+ 当x≥0时， 10002x1000+1000] - F2(E)-P(ZS:)=P(+Yiz)