34 线位代数·复变雨数·辰率统计习斯全解（下普）察 意第二章随顿变量及其分布，习题全解 35 当1为非整数时，取，即一[灯时，则PX=}最大，即P(X一[] f0. r<3 为最大值。 15©0设X服从二勇分布分布体为PX=制-】1-一 华 F()- J6·36x<4 4=0.1,2,m,同当4取何值时PX=)为最大. 高4<5 解与第14题英敏，由P{X一4一1)=C士'p一10一r-0 x35 Px-1-C-,得 17⊙15 在区柯[0，：]上任意授掉一个质点，以X表示这个质点的坐标，设 ”8二 CP(1-)-+ 这个质点落在[0：]中任意小区间内的展率与这个小区同的长度成正比例，试 求X的分布函数。 a- 周！ <0 解X的分布函数为 一1D!a-素+1D厅前(1-P) =“+2-a+p-炉+- 0©16以X表示某夜店从开始答业直到第一个顾客到达的等特时 是(1一) 同（以分计）x的分布函数是下☒={一e“,之0求下述装率， 令g“1-之m+1D+如一4 0. r<0 DP至多3分钟：(2)P至少4分钟：3)P3分钟至4分种之同， -1+a+- 4P(至多3分钟或至少4分钟)：5)P(价好25分钟。 当#<a+1Dp时有1+a+2二>1，则Px-≥Px- 中发作会南分南高新计集装来的黄随一。 :一1》，表明随看的增加.展率随看增加，当k>(m+1P时，有1十 (2)PX341-1-PX<4}-1-Fx(4)=e-an4-Q.2019 (3)P3≤X≤}-P(X≤4)-PX<3 +2<1，期Px=<PX-一1，表明随看的，率随 =Fx(4)-Fx(3)-1-e-aw-1-et) =0.0993 霸孩小，当-a+1Dp时，有1+a+-1，则PX-1=P4x= (4PX≤3)+PX≥4-1 k-1. -0.6988+0.2019-0.9007 当+1P为整数时-(+1p★-(n+1)P一1时，P(X一最 (5P{X-2.51=0. 大，即PX-(+1P=PX=(+1DP一1)为最大值. 当a十1)P为非要数时，取整：即是=〔(：十1)P门，则P(X=》最大，即 §24连续型随机变量及其概率密度 PIX-)为最大值 18⊙17设随机变量X的分布函数为 S23随机变量的分布函数 0r<1 Fx(r)=lnu,I≤x<e 16o14)受X最从(0-1)分布，其分布律为P(X一}一1一P)- 【1,x≥e 是=01，求X的分布雨数，并作出其形. (1D求PX<2,P{0<X≤3引.P2<X<5/2,(2)求餐率密度f:(), Rol 由丧来的有限可如性得 要点x)-) dr f0. x<0 (1)Px<2)-Fx(2)=ln2 F)-1-P,0≤x< P{0<X3j=Fx(3)-Fx(0)=1 rI P2<x<)-F-Fra-n吾-e 0.14(2)求第1°1思中的随机变量的分布函数， (2)当x<1时，J(x)=F)=0 玉22 当1≤x<e时/=FU)-ry-
36 线性代数·复变函数·概率统计习题全解（下费）富 香第二章随机变量及其分布·习题全解 37 当xe时，fx(x)=Fx(x)=(1y-0 率度为-公，1<：<。 or- 0≤x<1 x<2 其余 0。 其余 19.0(1)设X在(a,b)上服从均匀分布，其概率密度为f(x).试验证 ∫儿fxa-1. 0 其余 求X的分布函数F(x),并画出(2)中的fx)及F(x)的图形. (2)设X服从标正态分布，其概率密度为).试验证红一1 要点用公式F红)-广了心)出，由于/是分段函数，积分也要相应地 1- 证明1)X的概率密度为fe)=。'“<:<6 分段积例如小一小+广+日 0,其余 解(1)当x<1时，F(x)一0-0 由概率密度(x》的性质，有 fcdr-∫oa+亡+oa: 当1≤x<2时，Fx)=fe)4-八_od:+八2-) -6d-1 -+)==+是-4 (2)X一N(0,1),其概率帝度为 当r≥2时.Fa)-odx+21-1/edx+oax-1 )-。. -∞<x<+∞ 综合可得（图2-3）F(x)=2红+一4,1≤x<2 1。 2 (2)当x<0时，Fx)=0: 当0<x<1时，F)-f)a-八od+d= d-t- 当1≤<2时，F(x)=已o+他+2-a =-x+2红-1 左)左=1 当x≥2时，Fu)-od+dz+2-xaz+odr=1 这里利用幽玛函数re)一e,且r》-√反. 0, x<0 06x<1 医焦：令户-（会a到'-制 综合可得（图2-4）F(x)= x+2x-1,1≤x<2 -广ey-e中d 1 x32 设x-cosB,y=sin0,则 n=a-e-1 所以 20.18设随机变量X的概率密度为 a/)-.ae 其余
38 线性代数·复变函敷·服率统计习题会解（下哥）像 第二章 随机变量及其分布·习全解 39 (3)当x<-1时，F(x)=0:当-1x<1时，则 于是 Fru) 1一e-wu,t≥0 Fe)-∫fud=o咖i+八，是-a=,是M-u 0. -(经+raim侧儿， =7(100)一Fr(50)=e-"-e器 -是（艺V-+arcsin-之arcain(-1y) 衣P450<r<1o)-fu油-六0a-e益-。器 22°20某种裂号的电子管的寿命X(以小时计)县有以下的概率带度： -引告2+是arcain+告×) e=,10o0 -+1 arcsinz+号 0 x≤1000 当x≥1时，F(x)=1,综合表示为 现有一大批此种瞥子（设各电子臂损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少 x一1 有2只寿命大于1500小时的概率是多少？ 要点将实际问题向概率模型归类的隐力要强：5只心5重一Y一(5，) F(x)■ +rcsins+-1<1 1 x1 解-PX>1500-m19x-号5次独立试验，设Y为寿命大 21.19(1)由统计物理学知，分子运动速度的绝对值X服从马克斯韦尔 于1500小时的只数，则Y~b(n,P)一b(5,号)，至少有两只券金大于1500小时 分布，其装率南度为公-《”之8其中6 的概率为 0, Py≥2-1-Py<2)-1-PY-o)-P(Y=1 m/(2T),点为oltzmann带常数，T为绝对温度，m是分子的质量，试确定带数A: -1-()-c·(}()‘=器 (2)研究了英格兰在1875年~1951年期间，在矿山发生导致10人或10人 23中21设類客在某银行的窗口等待眼务的时间X(以分计)服从指数分 以上死亡的事故的繁程度，得知相继两次事故之问的时间T(以日计)服从指 数分布，其概率密度为 =命。m.二0求分有后数，并求概家P130≤T<10 0.40 10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以y表示一个月内他未等到服务 离开窃口的次数，写出Y的分布棉，井求P(Y≥1}。 要点确定俗数，使用f)一1一个方程，一个未知数。 解1)使用公式fx)山=1 ∫fxa-八.+g-Ae-na p-PX>1o=rode=吉ede-。y-b6,e) y的分布神为 rde-inndr PY=k}=Ce-)(1-e2)-.k-0,12,3,45 曾方[语] P(Y1}=1-P(Y<1)-1-PY=0}=1-(1-e-2)°=0.5167 √2√2 24°22设K在(0,5)服从均匀分布，求方程4x2+4K工+K+2=0. 有实根的概率。 学会 要点由△≥0确定K的壹化范围，求K一∫x(x)一？并由fx(x)计算概 率。 思如右a=合傲A。宏 解有实根◆△≥0←→16Kt一16(K+2》30→（水+1）(K-2)≥ 0→K2或K1 (2)当1<0时，Fw-八a-0 当≥o时.Frd)=∫fud-八aewa=1-e-m 又K-U(0,5)→fx(x)= 告.0<x<5 0, 其余
40 线性代数·复变柄最·雁率统计习通全解（下看）命 查第二章随机变量及其分布·习题全解 41 P有实根)PK≥2UK≤-1)-P(R≥2+0 =5出-g →-3≤-1.28→d≤0.44 26.24某地区18岁的女青年的血压《收缩压，以mmHg计)聚从 25⊙23段X一N(3,2).1)求P2<X≤51，P1-4<X≤10刚 N(110,12,在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X:(1)求P(X≤ P《Ix1>2.P(X>3引：(2)确定c使得P{x>e1-P(X≤c}.(3)设d满足 P(x>4≥0.9，同d至多为多少1 105).P100<X≤1201：(2)确定最小的x,使P{X>x)≤Q.05. 解(1)x一N(110.12) 要点本题及接下来的四道题要查表计算：一粒正态化为标准正态，再查 标准正态表，其理论根据：若X一N,),则X。上、N0,1D.例如X一 Px<10s}=p1052110）=(-0.417-1-(0.417) 2 -1-0.6628=0.3372 N,),求P(x<X≤x一1核心技术：让X三方同民标准舞 Pa<x≤l-,2<X。≤，5=，- P1o0<x≤12oy-f12o19)-109 2 12 =0(0.83)-P(-0.83)-2p(0.83)-1 。反之，者这个知识点不透：后面的学习将会在照暗中摸索，因为在 =Q.5934 悦计部分仍将反复使用这个知识点可省去过程，直接使用公式， (2)要使P{X>x小≤Q.05.只须1一P{X≤x小≤Q05 Ps<x≤-，-，) PX≤x161-0.05=0.05 本即 由于()的图像关于原点对粉，口快，D(负)=1一（正） ）≥a.5 (-x)+px)=1→(-x)=1一(x) 故 0>1645≥129.74 naP2<x<5=(5,-2 即x的最小值为129.74 27⊙25由某机器生产的螺栓的长度(cm)酸从参数=一10.05，：=0.06 -)-号）-a5328 的正态分有，规定长度在范围10.05Q.12内为合格品，求一螺栓为不合格品 p-4<x<1o=12-4 的景率。 -叫)-}-引-1-96 设螺栓长度为X,则X一N10.05,0.06),合格X一10.051≤ 0.12→不合格1X-10.051>0.12,所求报率为 PIx1>2引-1-P-2≤X≤2) 1-2引+到 PX-10.051>Q.12 =1-P{10.05-0.12<X<10.05+0.12) =1-叫-)+叫-引 =1-叫&+-&-2-20(2)-0o456 -1+叫7}-2引-0.69m 28⊙26 一工厂生产的电子管的寿命X(以小时计)从泰数为一160 Px>3引-1-Px≤=1-32 的正布分布，若要求P120<X≤200)≥080，允许·最大为多少1 =1-==05 解x-N160,)→X-1@、N0,1D 2)由P(x>e-P(x≤e得 P120<x≤201-0,19-120,16) PX≤d=是Px≤-2=则e=3 =2智）1>≥a5009）≥a90 aPx>a-1-Px≤4h-1-PX23≤423 查表知.0(1.28》一Q.90 -1-2引≥a922引<a1春表 g）≥1.28→4g2>1.28 所以口最大为31.25
42 授性代数·复变函数·疑率统计习题全解（下青）德 第二随杭变量及其分布·习题全解 43 290求标准正态分布的上分位点， ()=PY≤y=0ry)=0 (1e-0.01,求(2)a-0.003,求，a 当y>0时，F(y)-P(Y≤y}P{-2nX≤y} 解设2一N(01). =PlnX≥-兰}=P{x≥e) (1)P(2>}=,当a=0.01时，则P(2>}=0.01,成P{2≤1} =0.99,查表得1一2.33. -xd-1-e (2)P(2>0m}-0.003,或P(2≤x.m】=0.997,在表得4，=2.75。 从而 曲P{1Z1>m1}-0.003得P(121写za1s}=0.997,查表得x4 r6)-4)-支 =2.96. 故 =，0 0, y≤0 S25随机变量的函数的分布 32⊙29设X~N(0,1),(1)求Y=e*的率密度(2)求Y=2X+1 的概率密度：(3)求Y=IX1的概率密度。 30.27设随机堂量X的分布律为 解(1)y=g(x)=e在( ∞，+∞)上恒有g'(x)=e'>0,且g(x) 有反函数 x-2-10■13 151/61/51/1511/30 ￥■()-lny,'(y)-子，a-min(e,et1-0 求Y一X的分布律. 月=max{e-e,e+w）=+四 解Y的所有可能取值为（一2）2，（一1）2,02,12,3，即0,1,4,9，由概率的 由截材中式(5,1)得Y的概密度 有限可加性得 1 PY-1}-P{X-1UX=1)=P(X=-1)+P(X-1} =1/6+1/15=?/30.于是Y=X的分布排为 0, y场0 Y0149 (2)因有y=2x+1≥1，当y云1时，r心)=0 41/57/301/511/30 当y>1时. 31°2移设随机变量X在(0,1)上眼从均匀分布.(1)求Y=e*的领率图 o=P2x+1<-P-V豆<X<√2豆) 度：(2)求Y一一2lnX的概率密度. 精x一U01)水)-：0北余1 (1)Fr(y)=P(Y≤y}=Pex≤y)=PX≤lny} 则由F()-r(y),Y的橛率帝度为 -fx(r)dr-ds fr(y)= 故 fy(Y)=FY(y)-0<Iny<1 0 y≤1 (3)因为y=z|≥0，则当y≤0时，ry)=0 所以 =,1<y<: 当y>0时.Fyy)-PIXI<y}=P-y<X< 。其余 (2)解法1用定理解。由y=-2lnz得x-A(y)=e-立，h'(y)= -之e1,由定理得y一)- 2,>0 则由)=GY的瓶家密武为心)=W层.。，>0 0. y名0 0 y≤0 解法2用推学定理的方法解，当y≤0时，{Y云y)=② 33P30(1)设随机变量X的概率密度为f(x),-四<x<十0∞，求Y=