24 线性代数·复变雨数·薇率统计习题全解（下骨）事 意第二章随机变量及其分布·导学 名 ∈L}.当L一x}时，(X∈L}一《X-x}表示事件，用于分布排，当L一 3若X~N4,),则Px<X≤x}-二|-p二严}： 《一3，x]时，{X∈L)一{X运x}表示事件，用于分布函数。 4之，是一个上分位点，理解名，要抓住两点：。为横轴上的点：在图形中，点 这是一道坎：若此知识点不遵，第二章将无法入门，后面的学习将可似懂 x,右边阴影部分面积=a,在《数理绕计》部分，这是一个非唐取要的知识点。 非懂， 将引微入概”的工作预人进行下去，静水流深，下一章将拓展到多堆情形， 研究X有三大工具：F(x),(x)和任何X均有对应的分布函数F(x) 离散型X单独拥有分布律户，i一1,2，.，#，.，连续型X单独拥有额率密度 本章的符号推进秋序为： fx).在统计意义上讲，攀提了F(x),f(x)或中的任何一个，就可以认为完 X-X(e)→x∈LJ+e,+F(x)+fx)-g(x) 全地草数了X. 分类研究是研究随机现象的重要法宝。§2介绍了三个“律”，至4介郎了三 个“密“，将它幻得特别熟练后，课后习题及后线内容均可往这“8个类 归类，反之，若此处“欠了债”，第四章一定会看不懂书. 本章5是一个重点。科学研究显示：本章导5为考研命题的“敏感区”：（样 名著推荐 见陈小柱等输著，《考研数学真题全解及考点分析》系列牧材)，如何求Y一 g(X)的分布2抓住离两点”和“连两点”， 英文i,William H.Greene,《Econometric Analysis(Fourth 离散型两要点， Edition)清华大学出板壮出板 1“加边： 中文版，成豪H格林《经济计量分新) X1x.n Y-g(X)g()g(x2).(. 中国壮会料学出版壮出版 ppP1.p . 铺书作者是美国著名经济计量学家、短的大学教投，铺书已 2°合并： 虽然数工，.，x,.互不相同，但g(x1)g(),.,g(工)，.中的数有 被学为经济计量圣经 可能出现相同的，例如：g(x)一g(x)一1，则可把：和x所对成的P:和P:加 流书与《概率论与数理统计》繁雪相联。 起来：P(Y=1}一1+P4,对飘教材P51例1 有共趣的同学不均拾阶而上，四内有些名校的本朴生直提她 连编型两要点， 过项士阶段，去美国名校攻读牌士学位，超强的自学能力在起决 1°让Fr(,)与Fx()发生联系， Fy(心)-PY云y}=P(含X的式子名y}一P让X显露在中间) 定性作用。 -P□≤X≤☐)-Fx(☐)-Fx(☐) 2°1让fr()与fx()发生联系： 对F(y)=Fx(☐)一Fx(□)两边求异数，r()与fx()就自然发生了 联系.分情形算下y(心)时，()要号成分段函数的形式， 有些知识点在本章出现，但在后面会反复用到，宜熟练掌握，例如 1'Fx()-P(X 5),Fr(y)=P(Y &y],F:(E)=) 2若X一N,则2-X,一N00X可看做式子，者式子一 NO.□.则式子=☐i一No
26 线性代数·复变雨·率统计习题全解（下）事 随机变量其分·习题全解 27 涵本章知识结构 館习愿全解 区父X一X)更从S到R的任一华集装制 S2.1随机变量52.2离敝型随机变量及其分布律 图 用X表袋事件S2elx阳∈L△区∈) 1.1一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只球，以X 表示取出的3只球中的最大号码，可出随机堂量X的分布律。 定义：Y∈R,)-PX)=PY≤可 要点求分布律分两步：1”单值映射X的值域：{11，.一？ 性喷”华满不发了右连健 求X=的概率：P(X-)- 2件珠值0≤Fz)≤1，F(+四)=1，F-0)-0 习惯提法：X所有可能取值是指：赖射X一X(》的值城取值，面不是在定 文城s={e上取值 解X所有可能取值为3.4,5。 久义：X为离载整，利外-PX一心=12一为分有华 PX-一P(是大球号为3其余两球号为1,2一得-品 a集n≥0d=1,r2- PX-P心最大球号为4，其余两球号在1,23中结)-号-音 Px=5引=号 二：X5，PX-特-C1 F商0言-动，到PX=制=一-012- PX=-告 其中C:为最大号骨是是的取法种类数 5 A1/10 3/10 6/10 有F)-八f油，时#若秀适一，棒fX)为复~。 0⊙2将一颗数于数掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试分别求 X的分布律。 性毫e≥0，xfed-1 解样本空间S={《1,1).（1,2),4,《1,6),(2,1),《2,2),*,(2,6,.+ f)在r连oP(-f 《61),(6,2).(6.6)1,中“个数”一36，×的所有可能取值为12,3.45.6 w4<=P<x≤l-l-a-eH 1X=4)=《(.))U(,k+1).(k,k十2》，.，(t.6)》U(k+1,★)， (+2.4),.,(6.k) {X=)中个数=(6一)+(6一)+1=13一2 个密r均X~Ufe-。<< 其食 Px-0- 子-w,>6 X1 1/369/3671365/363/35136 y正&X~N(m,2),f= e。-m<r<+的 2⊙0将一顺般子抛两次，以X表示两次所得点数之和，以X:表示两 次中得到的小的点数，试分别求X:,X:的分布律， 一西数的分有一重要条任用两点”和“港两点“无本本平图 解将一颗股子抛掷一次，所有可能出现的点数为12,3,4,5,6，将一 股子抛掷两次，则样本空间S-{(1.1).(1,2),.,(5,6),(66)1.3中共62个样
28 线性代数·复变函数·展率统计习题全解（下所）事 第二章随机变量及其分布·习题全 29 本点.随机变量X1的所有可能取值为2,3，.，12，且 2 ，3 {X-2}-(1.101.(x-31-4(1,22,(2,1) {x-4}-{(1.3),(3,1).(2,2)1.{x-12)=4(6.6)} 4p(1-)1-)p.1-p-p. 取各个值的概率分别为 或P{X=}-(1-p)-1=g-1,k=1,2.3,.,n,. （2)随机变量Y的所有可能取值为rr十1，{Y=}一“第秦次试验成 PX-2)-品，P(X-3)=希 功，而前一1次试验中恰有一1次试验成功”，故Y的分布为 PX-4)=希，PX=12=高 Y r+1 r+2 P C-1(1-p)p C(-p)p 则随机变量X,的分布神为 或P{Y=)=Cp(1一)r,k-r,r+1, X123458789101112 (3)是(1)题P一0.45的情形，故分布律为 p:1/352/353/364/365/366/365/364/363/362/361/36 3 5 随机变量X:的分布律态见上题。 p40.450.55×0.450.552×0.50.55p×0.45(a.55+xa45 33设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取 】只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数.(1)求X的分布律：(2)画出分 减P{X=k}=0.45×(0.55)-1,e=1,2,. 布律的图形 X取偶数的概率为 解Px=1)=C·Ci/=是 p-P(X 24) PX=2)=cC/C3=ò =0.55×0.45+(0.5)×0.45+0.551×0.45+.=1 Px=0)=1-P(x=11-P(X-2)-器 05一房间有3响同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的，有 一只鸟 白开着的窗子飞人了房间，它只能从开着的窗子飞出去.鸟在房子里飞来飞去， 分布律图形如图2-1所示. 试图飞出房间，假定鸟是投有记忆的，鸟飞向各扇窗子是幽机的， (1)以X表示鸟为了飞出房问试飞的次数，求X的分布律， (2》户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于 x012 一次.以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的， 试求Y的分布律 p422/3512/351/35 叶 3)求试飞次数X小于Y的率：求试飞次数y小于X的概率. 解(1)鸟投有记忆→一次试飞飞出去的可能性为1/3，飞不出去为2/3 图21 X=k)=“前是一1次没飞出去”且“第是次飞出去” P(X=k)=(2/3)-t·1/3) 44进行重复独立试验，设每次试验成功的顺为P,失败的率为 日1一(0<b1) X服从参数户=号的几何分和，其分布律为 (1)将试验进行到出现一次皮功为止，以X表示所需的试验次数，求X的 2 3 分布律（此时称X服从以为参数的几何分布； (2)将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分 p1/32/3·1/3（2/3)2.1/3. 布律（此时称Y服从以r,户为叁数的巴斯卡分有）。 (2)Y所有可能的取值为1,2,3. (3)一篮球运动员的投蓝命中率为5%，以X表示他首次投中时累计已投 解法1P(Y-1}-1/3,P(Y=2)=(2/3)·(1/2)-(1/3) 蓝的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。 P(Y=3}=(2/3)·(1/2)·1=1/3 要点把X一4}翻译成“语言描述”，再用第一章知识。 解法2由于鸟飞向各扇窗是随机的，鸟飞出的指定窗子的尝试次数也是 解(1)随机变量X的所有可能取值为1,2，.，4，.，(X-}=“第k次 等可能的.即 PY=1=PY-2引=PY-3-3 成功且前表一1次失败”，于是分布为 Y的分布律为
30 线性代数，复变函数·展率统计习郑全解（下新）您 第二章机变及其分布·习题全期 31 23 时，指示灯发出伯号.(1)进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率：《2) 41/31/31/3 进行 7次独立试 ,求指示灯发出信号的概率 设A发生的次数为X,则X一b(,0.3),设B为指示灯发出信号。 (3)两只鸟的飞行相互独立 《1)n=5 P(X<Y)-P{X-1,Y-2}+ Px=1.Y=3}+P{x=2,Y-3] P(B)=Px≥3)-2C(0.3(0.7)5-0.163 -号·3+3·子+号·3= P=1-PK= PY<X}=Py=1.X=2}+PY=1,X=3)+ -1-(0.7)-((0.3)(0.7)4-C(0.3)2(0.7)1-0.163 PY-2.x-31+2P1x- (2)m=7 PY-1+PY-2)+P(Y-3] -子·号+片()子+ 成P(B)=1-2Px= 号()”·言+号引·片=器 =1-(0.7)3-C(0.3)(0.7)5-C(0.3)1(0.7)1-0.353 5⊙0(1)设随机变量X的分布律为P{X-}一：，k一01， 88甲，乙两人投篮，投中的疑率分别为06,0.7，今各投3次，求：(1)两 人投中次数相等的摄率：(2)甲比乙投中次数多 的概 2,>0为常数，试确定常数a。 解 设甲投中的次数为X,乙投中的次数为Y,则X一b(3,0.6),Y (2)设随机变量X的分布神为P(X=)=是，是=1,2，N,试确定 b(3,0.7) 常数a。 P{X=01-(0.4-0064 P1X=1)=C3(0.6)(0.4)=0.288 解由公行=1得公=1=1：则数a- P{X-2}=C(0.6)2(0.4)-0.432 P{X=3)=(0.6)3=0.216 2)由名是=1，得含京=1，期体数a-1. P-0}=(0.3)=0.027 PY1}=C1(0.7)(0.3)2m0.189 66 一大楼装有5个同类型的供水设备，测查表明在任一时刻：每个设 备被使用的概率为.1，同在同 时刘 PY=2}=C(0.7)(0.3)=0,441 (1)恰有2个设备被使用的概率是多少？ PY-3}-(0.72=0.343 设A一“两人投中次数相等“，B=“甲比乙投中次数多”，则 (2)至少有3个设音被使用的概率是多少？ (3)至多有3个设备被使用的概率是多少？ P(A)=2Px=1Y=)-2PX-PY=)=0.32067 《4》否中有1个投备鼓使用的招率县多少 P(B)=P(X>Y)=P{X=1,Y=o)+Px=2,Y=0)+ 设对每个设备的观察为一次试股，则试验次数为5且每状试验相互独 P{X=2.Y=1)+P{X=3.Y=0)+P(X-3,Y-1)+ 立.于是X一b(5,01),分布律为 P(X=3,Y=2) P{X=k}=C(0.1)(0.9)-‘,k=0,1,2,3,4,5 2=2)=C经·01*·1-01)=0pX-5 099 大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验：从中任取10件 (2PX≥3)-P(X-3)+P1X 经校验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收：否则作第二次检验，其做法是 =(}·0.13·0.9*+Cg·0.1·0.9+C·0.15-0.00856 从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%， (3)P(X≤3)1-P(X-4}一P(X-5) 求 =1-C·0.14.(1-0.1)-C·0.15=0.99954 (1)这批产品经第一次检验就施接受的概率，。 (4)P(X≥1)-1-P(X<1)-1-P(X-0) (2)需作第二次检验的概率， =1-C;·0.1°·(1-0.1)5=0.40951 (3)这批产品按第二次检验的标准被接受的简率。 77设事件A在每一次试验中发生的摄率为0.3，当A发生不少于3次 (4)这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检酸时被通过的厮率
安 线性代数·复变函数·版率统计牙题全解（下骨）事 第二章随机变量及其分布·习题全帮 (5)这批产品被接受的瓶率. -1-e-1-0.1×e-1=0.00468 解 设X=“第一次检验的次品数”，Y=“第二次检验的次品数”，P= 11°11尽管在几何数科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角 10%-0.1,则Xb(10.0.1),Y一6(5,0.1) 是不可能的，但每年总有一些“发明者“援写关于用圆规和直尺将角三等分的文 (1)P{X=0}=C10.1(1-0.1)n-0.94m0.349 章，设某地区每年舞写此类文章的篇数X服从态数为6的泊松分布，求明年没 (2)P(1X≤2)-P(x=1)+P(X=2) 有此类文章的概率。 -2C0.1r(1-0.1)0-w0.581 解X服从参数为6的怕松分布，其分布律为 P{X==0-58/:,k=0,1,2, (3)PY-0}-C0.1(1-0.1)1=0.900.590 明年投有此类文章的概率为 (4)PY-0,1≤X≤21=PY=0P1X≤2) 两事件互相独立 P1X=0)m6+e-6/01=0.0025 -0.59×0.5810.343 12⊙12一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的消松分布， (5)P(×=0)U(Y=01≤X≤21)-0.349+0.343-0.692 求，(1)每分钟恰有8女呼唤的顺串：(2)每分钟的呼唤次数大于3的摄事 910有甲、乙两种道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4 每分钟收到k次呼唤的额率为P(X一) /k,k=01,2, 杯，能将甲种酒全郁挑出来，算是试验戒功一次。 1)P(x=81=40e/8-0.02977 (1)某人随机地去猜，同他试验成功一大的颗率是多少？ (2)某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试检10次，成功3次，试推 2Px>3)-1-Px≤31-1-6-2若=0.565 断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）。 1313某一公安局在长度为：的时问隔内收到的紧急呼数的次数X服 本恶第(2)同为后面第八章假设检验作伏笔 从参数为/2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计） (1)为古典概型问题，基本事件总数为C；,则成功一次的领率为 (1)求某一天中午12时至下午3时设有收到紧急呼数的瓶率：(2)求某一 1/Cg=7品 天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼数的概率。 (2)设成功次数为X,则X~610,六) 解A=台，X~x(a) (1)A=号，PX-k}-15年，k=0,12.,从m Px=3}=Ci001-0✉3.163×10 P(X=0}=e毫-0.2231 因为仅凭猜测，能成功3次的率特别小，可认为确有区分的能力 10⊙0有一景亡的汽车站，每大有大量汽车通过，设每炳汽车在一天的某 2A=2-PX-=2器，-01.2，从m 段时间内出事故的概率为0.0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过， 问出事的次数不小于2的率是多少？（利用泊松定理计算，） Px≥=月2岩-0918在表) 1000辆汽车中在一天的某段时间内发生事故的次数X服从二项分布 6(1000,0.0001).所求概率为 14⊙0设X跟从拍松分有，其分布律为P(x一一会.k=01, 2,.,同当k取何值时P(X=)为最大， Px≥2=2宽C0.o010.999 要点将P(X=}看做随变的数列.寻找，左升右降 -1-2cm0.001r(0.99991w- 曲PX=PX-行得 P(X一k} e=1/k！ =1-(0.9999)10-Co(0.0001)(0.9999)m Px-k-1“-e7e-1)了=东 计算较麻领，如果用泊松定理计算，将大大简化计算即 当A>k时，有套>1，则P{X=k}>P(X一k一1，表明随k的增加，摄率随 着增加：当A<时，有冬<1，则PX=k)<PX一4一1，表明随的增加， 其中A%mp=1000×0.0001-0.1,于是 P{X≥2}=1-P{X<2}-1-P{X=0)-P(X=1} 展率鸡着被小：当A=★时：有冬=1，则PX一一PX一本-1》： 当A为整数时，则=A,是一A一1时，P{X一k}最大，即 P{X=A)=P(X=A一1)为最大值