$1.2复变函数项级数+85.部的收敛性，除点；以外，须另行判定，推论如果称级数（4、3)在点名发散，则满足i之一2。，≥1z2一。l的点，都使级数（4.3）发散证用反证法，设为满足一2-的任一点，若在处级数（4.3）收敛，则由阿贝尔定理知2C,(2z0)"收敛这与题设矛盾.因而满足一≥|一|的点均使级数（4.3）发散.证毕这个推论的儿何意义是：如果幂级数（4.3）在点22发散，那么该级数在以为中心、一。为半径的圆周外部的任意点处，必然也发散（图4.1（b)).而该级数在圆周！2一2。|=1：一2上或其内部的敛散性，则须另行讨论，对于一个形如（4.3）的幂级数.当≠。时，可能有三种情况第一种对任意的，级数C,（一）"均发散例如级数1+(）+2(z)++(）"+当之≠2。时，通项不趋于零，故发散，第二种对任意的，级数C（一）”均收敛.例如级数1 +(2-0) +(2-)2(之20)22n"21对任意固定的之，从某个n开始，以后总有于是从此以后n有，因而级数对任意的均收敛，第三种存在一点21≠z，使≥C（z一2）"收敛（此时，根据定理4.5知≥C,(z—2,)"在圆周[—2|=|2)-2|内绝对收敛）,另外
-86.第四章解析函数的级数表示又存在点z2使C,(z2—20)”发散(|z2—21>[z1—2l,由定理4.5的推论知它在圆周一一的外部发散)在这种情况下，可以证明，存在-个有限止数R，使得C,一）"在-~。|=R内绝对收敛,在圆周i2--2=R的外部发散.R称为此幂级数的收敛半径；圆周|≥一z.i=R称为收敛圆.对第一种情形，约定R一0：对第二种情形，约定R=0.并且称它们为收敛半径.现在讨论关于幂级数（4.3）的收敛半径R的具体求法.同实幂级数类似，比值法和根值法是我们熟悉的两个有效的常用方法（证明从略),L=,则级数C（—2）"的收敛半径（1）比值法：若lim1R=X（2）根值法：设lim/TCT入，则级数C,（z一）"的收敛半径R=1X当入=0时，则R=0当入8时，则R=0例4.3求级数≥，2≤，2的收敏半径、并讨论它们在收敛圆上的敛散性，解这三个级数都有lim=1，故R=1.但它们在收敛圆[|=1上的敛散性却不一样，2在|2|=1上由于lim2≠0,故在|2|1上处处发散，在|2|=1上的α=—1处收敛,z=1处发散，≤在1z{=1上处处绝对收敛,因而也是处处收敛