方差5.2如果从一批灯泡抽得10个灯泡的寿命分别头700.750.750.800.800.800.850.850.900.900而从另一批灯泡抽得的10个灯泡的寿命分别为0,300,300,350,350,400,700.1900.1900.1900则不难求得这两批灯泡的平均寿命均为EX-810但第一批灯泡寿命明显稳定，因此质量好容易看到，EIX-EX)或E(X-EX)?就能度量随机变量X的稳定程度.故引入下面的定义场
如果从一批灯泡抽得10个灯泡的寿命分别为 700, 750, 750, 800, 800, 800, 850, 850, 900, 900 5.2 方差 而从另一批灯泡抽得的10个灯泡的寿命分别为 0, 300, 300, 350, 350, 400, 700, 1900, 1900, 1900 则不难求得这两批灯泡的平均寿命均为EX=810, 但第一批灯泡寿命明显稳定，因此质量好. 容易看到, E(|X-EX|)或E(X-EX) 2就能度量随机 变量X的稳定程度. 故引入下面的定义
定义1设X是一个随机变量，则称E(X一EX)(当其存在时）为X的方差，记为D(X)或DX，即DX = E(X-EX)而称√/DX为X的标准差或均方差对分布律为p的离散型随机变量，有DX = E(X - EX)° =E(x - EX)" pkk=1对密度为f(x）的连续型随机变量X,有DX = E(X - EX) = ( (x - EX)" f(x)dx
定义1 (当其存在时)为X D X DX 的方差, ( ) , 记为 或 即 对分布律为{pk }的离散型随机变量, 有 2 2 DX E X EX x EX f x x ( ) ( ) ( )d + − = − = − 2 设X E X EX 是一个随机变量,则称 ( ) − 2 DX E X EX = − ( ) 而称 DX X 为 的标准差或均方差. 对密度为f (x)的连续型随机变量X, 有 2 2 1 ( ) ( ) k k k DX E X EX x EX p + = = − = −
方差的性质：性质1.D(C)=0.其中C为常数性质 2. DX = EX2 -(EX)性质 3. D(cX)=c2D(X).性质 4. D(X±Y)= D(X)+ D(y)±2E[X - E(X)IY - E(Y)特别，当x与Y 相互独立时，D(X±Y)=D(X)+D(y),推广: D(X+ +X, +..+ X,)-ZD(x,)+2 ZE[xX, -E(x,)[x, -E(x,)ISi<jSn特别，若X,X,,X,相互独立，则D(X, +X, +.+X,)=D(X)性质5.设X是随机变量，则DX=0的充要条件是X以概率1取常数C即 P(X =C)=1， 显然，这里C= EX.咖
方差的性质： 性质１． D C( ) = 0．其中C 为常数 性质 2． 2 2 DX EX EX = − ( ) 性质 3． D(cX ) c D(X ) 2 = ． 性质 4． D(X Y) = D(X)+ D(Y) 2EX − E(X)Y − E(Y)． 特别，当 X 与Y 相互独立时， D(X Y) = D(X )+ D(Y)． 推广： ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + = + − − i j n i i j j n i D X X Xn D Xi E X E X X E X 1 1 1 2 2 特别，若 X X Xn , , , 1 2 相互独立，则 ( ) ( ) = + + + = n i D X X X n D Xi 1 1 2 性质 5．设 X 是随机变量，则 DX = 0的充要条件是 X 以概率 1 取常数C ， 即 P X C = = 1， 显然，这里C EX = ．
证明：性质1的结论显然成立：性质5的证明从略.下面证明性质2和性质4，由方差的定义及期望的性质即可推得性质 2: DX = E(X-EX) = E[X?-2X(EX)+(EX)= EX?-2(EX)(EX)+(EX)= EX?-(EX)性质 4: D(X±Y)=E[X±Y-E(X±Y)]- E[(X - EX)° +(Y - EY) ±2(X -EX)(Y - EY)= DX + DY ±2E[(X - EX)(Y - EY))特别，当X与Y相互独立时，有E[(X - EX)(Y - EY)]= E(X - EX)E(Y - EY) = 0所以D(X ±Y) = DX + DY
证明： 性质 1 的结论显然成立；性质 5 的证明从略.下面 证明性质 2 和性质 4，由方差的定义及期望的性质即可推得 性质 2： 2 2 2 DX E X EX E X X EX EX = − = − + ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 = − + EX EX EX EX 2( )( ) ( ) 2 2 = − EX EX ( ) 性质 4： 2 D X Y E X Y E X Y ( ) ( ) = − 2 2 = − + − − − E X EX Y EY X EX Y EY ( ) ( ) 2( )( ) = + − − DX DY E X EX Y EY 2 ( )( ) 特别，当 X 与Y 相互独立时，有 E X EX Y EY E X EX E Y EY ( )( ) ( ) ( ) 0 − − = − − = 所以 D X Y DX DY ( ) = +
例 1求泊松分布X～P(2)的方差DX解泊松分布的分布律为?akPXkk = 0,1,2,..k!ak80(k-1) +1Z21EX2Z所以元K-K2ek!(k -1)!k=0k=181Z2k-222e(k-2)(k-1)= ae-"[ae"+e] = + a故DX = EX-(EX)=+- =
例1 e , 0,1,2, ! { = } = = − k k P X k k 所以 = − = 0 2 2 e ! k k k EX k = − − − − + = 1 1 ( 1)! ( 1) 1 e k k k k = + 2 求泊松分布X～P(λ)的方差DX. 解 泊松分布的分布律为 − + − = = − = − − 1 1 2 2 ( 1)! 1 ( 2)! 1 e k k k k k k = e e + e − = − = + − = 2 2 2 2 故 DX EX (EX)