S5.4正定二次型题目教学时数5学时了解正定二次型的定义。1.线上预习目标2.了解正定二次型、半正定二次型的区别3.了解一些正定二次型的等价条件掌握正定二次型及其性质；1人熟练掌握正定性以及与正定性平行的几个类型的判别：教学目标提高学生解决问题的逻辑思维能力。用”正定性”类比”正能量”，激励学生树立正确的人生观、价值观思政目标正定二次型及其性质、正定性的判别、与正定二次型平行的几个类型。教学重点正定性以及与正定性平行的几个类型的判别。O教学难点线上线下混合式教学（2学时+3学线上线下混合式教学教学方法教学手段时)（线上学银在线预习微课+线上（2学时）线上自制知识点总结微课+（1）预习学银在线视频课线上自制习题讲解微课+（2）随堂练习或预习练习线下多媒体教学）（3）钉钉直播（4）学习学习通第五章思政总结微课 (自制)线下（3学时）讨论式（师生讨论）、引导式、示范启发式教学过程设计意图教师：（线上教学准备）1. 学生带着线1.学习通“通知”发布学生预习的“学银在线视频课”的内容及预习后回问题学习视上答的问题。频课，使学生把握重问题1：正定性的定义教间题2：正定二次型与正定矩阵的判定方法点，有的放学失，提高预习效果22
22 题目 §5.4 正定二次型 教学时数 5 学时 线 上 预 习 目标 1. 了解正定二次型的定义。 2. 了解正定二次型、半正定二次型的区别 3. 了解一些正定二次型的等价条件 教学目标 掌握正定二次型及其性质； 熟练掌握正定性以及与正定性平行的几个类型的判别； 提高学生解决问题的逻辑思维能力。 思政目标 用”正定性”类比”正能量”,激励学生树立正确的人生观、价值观 教学重点 正定二次型及其性质、正定性的判别、与正定二次型平行的几个类型。 教学难点 正定性以及与正定性平行的几个类型的判别。 教学方法 线上线下混合式教学（2 学时+3 学 时） 线上（2 学时） （1）预习学银在线视频课 （2）随堂练习或预习练习 （3）钉钉直播 （4）学习学习通第五章思政总结 微课（自制） 线下（3 学时） 讨论式（师生讨论）、引导式、示 范启发式 教学手段 线上线下混合式教学 （线上学银在线预习微课+ 线上自制知识点总结微课+ 线上自制习题讲解微课+ 线下多媒体教学） 教学过程 设计意图 线 上 教 学 教师：（线上教学准备） 1.学习通“通知”发布学生预习的“学银在线视频课”的内容及预习后回 答的问题。 问题 1：正定性的定义 问题 2：正定二次型与正定矩阵的判定方法 1.学生带着 问题学习视 频课，使学 生 把 握 重 点，有的放 矢，提高预 习效果
2.检验预习2.为学生编写、设计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。过效果3.学习通-测验布置本章测验题，并设置考试时间、学生互评。程4.结合第5章知识点总结，录制第5章思政元素微课，设为任务点。3.线上测试学生：（线上学习内容）5.学生学习通预习学银在线本节课的视频课检验本章学习效果，节并在学习通讨论区提问不懂的地方，师生共同讨论6.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测验题省课下学时4.总结本章分散的思政元素，加大教师：（线上教学总结）立德树人的7.通过学习通后台的“统计”了解学生视频课任务点完成情况，督促未完效果，实现立德树人的成同学完成，确保任务点完成率达百分之百。目标8.借助“学习通随堂测”的“成绩统计”，了解学生知识点掌握情况。等代数2观7.8.通过预习测验题的扇形统计图，了解学生的知识点掌握情况，使线下教学更有针对性。提问学生：通过线上预习，有哪些收获？1.正定二次型的定义检验线上预线2.正定性的分类习效果3.正定二次型的判定方法下课提出问题，是否存在二次型，函数值恒正呢？程引出新课，导引起兴趣。入一、定义定义1：设f(x，x2，",x）)是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数C,C2C,都有f(C2c,）>0，就称f(xx2,x）为23
23 过 程 2.为学生编写、设计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。 3.学习通-测验布置本章测验题，并设置考试时间、学生互评。 4.结合第 5 章知识点总结，录制第 5 章思政元素微课，设为任务点。 学生：（线上学习内容） 5. 学生学习通预习学银在线本节课的视频课 并在学习通讨论区提问不懂的地方，师生共同讨论 6.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测验题 教师：（线上教学总结） 7.通过学习通后台的“统计”了解学生视频课任务点完成情况，督促未完 成同学完成，确保任务点完成率达百分之百。 8.借助“学习通随堂测”的“成绩统计”，了解学生知识点掌握情况。 2.检验预习 效果 3.线上测试 检验本章学 习效果，节 省课下学时 4.总结本章 分散的思政 元素，加大 立德树人的 效果，实现 立德树人的 目标 7.8.通过预 习测验题的 扇 形 统 计 图，了解学 生的知识点 掌握情况， 使线下教学 更 有 针 对 性。 线 下 课 程 导 入 提问学生：通过线上预习，有哪些收获？ 1.正定二次型的定义 2.正定性的分类 3.正定二次型的判定方法 是否存在二次型，函数值恒正呢？ 检验线上预 习效果 提出问题， 引出新课， 引起兴趣。 一、定义 定义 1：设 ( , , , ) 1 2 n f x x x 是一实二次型，如果对于任意一组不全为 零的实数 n c ,c , ,c 1 2 都有 f (c1 ,c2 , ,cn ) 0 ，就称 ( , , , ) 1 2 n f x x x 为
正定的；如果都有(c,C2，c）<0，那么f(xx2，…x）称为负定的；思政：讲授此定如果都有f(c,c2c,）≥0，那么(x，2x）称为半正定的；如果义时用”正定性”类都有f(c.C2""c）≤0，那么f(x,x2",x）称为半负定的；如果实二比”正能量”,激励次型(x,x2"x）)既不是半正定又不是半负定，那么它就称为不定的。学生树立正线实对称阵A称为正定的、负定的、半正定的、半负定的，如果实二确的人生次型X'AX是正定的、负定的、半正定的、半负定的。观、价值观下定义2：子式讲ai观摩识a2..aia21a22.a2iP, =授(i=1,2新aiai2..aX称为矩阵A=(a.）的顺序主子式。课ERkxk1) A(1,2,...,k)=...akk注:k1称为A为第k阶顺序主子矩阵；an...aik2) P= det A(1,2, ,k) =：.：aki..akk引申定义，称为A的第k阶顺序主子式加深理解(3)..Q.i.iii即行指标[=R与列指标相...Xa同的k阶子称为A的一个k阶主子式24
24 线 下 讲 授 新 课 正定的；如果都有 f (c1 ,c2 , ,cn ) 0 ，那么 ( , , , ) 1 2 n f x x x 称为负定的； 如果都有 f (c1 ,c2 , ,cn ) 0 ，那么 ( , , , ) 1 2 n f x x x 称为半正定的；如果 都有 f (c1 ,c2 , ,cn ) 0 ，那么 ( , , , ) 1 2 n f x x x 称为半负定的；如果实二 次型 ( , , , ) 1 2 n f x x x 既不是半正定又不是半负定，那么它就称为不定的。 实对称阵 A 称为正定的、负定的、半正定的、半负定的，如果实二 次型 X AX 是正定的、负定的、半正定的、半负定的。 定义 2：子式 ( 1,2, , ) 1 2 21 22 2 11 12 1 i n a a a a a a a a a P i i ii i i i 称为矩阵 ij nn A (a ) 的顺序主子式。 注： 11 1 1 1) (1,2, , ) k k k k kk a a A k R a a 称为 A 为第 k 阶顺序主子矩阵; 11 1 1 2) det (1,2, , ) k k k kk a a P A k a a 称为 A 的第 k 阶顺序主子式. （3） 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 k k k k k k i i i i i i i i i i i i k i i i i i i a a a a a a Q a a a 称为 A 的一个 k 阶主子式. 思政： 讲 授 此 定 义时用”正 定 性 ” 类 比 ” 正 能 量 ”, 激 励 学生树立正 确 的 人 生 观、价值观 引申定义， 加深理解 。 即行指标 与列指标相 同的 k 阶子 式
定理7实二次型Za,xx,=X'AXf,x,,x)=i=l j=l线是正定的矩阵A的顺序主子式全大于零。下证：必要性.设f(x）正定，对每一个k(1≤k≤n),讲sfa(xi,x2,",xg,x合合此处证明Q授强调定义xi法，培养学新X2入=(x,X2)x,)A(1,2.....k)生的应用能力课摩Xk对任意一不全为零的数G，C2……Ck，有fr(c.C.....cr) = f(ci,C2....C.,0,..,0) >0vKD(X,x,x)是正定的，从而A(1,2,,)正定.. P =detA(1,2,.--,k)> 0, k =1,2,---,n.充分性：对n作数学归纳法.n=1 时, 41=lal>0.. (x,)=aux2，正定结论成立假设对于n一1元二次型结论成立，下证n元的情形设A=(a,)mm此处证明ain讲解的数学a2m归纳法，培A, =.养学生的逻n-1n-城辑思维能(AαA=力，并且讲授中与多项式一章的证明相联系，此类比体现又A的顺序主子式全大于零，所以A1的顺序主子式也全大于零了事物普遍联系的观点。由归纳假设，A1正定，即存在可逆矩阵G，使25
25 线 下 讲 授 新 课 定理 7 实二次型 f x x x a x x X AX n i n j n ij i j 1 1 1 2 ( , ,, ) 是正定的 矩阵 A 的顺序主子式全大于零。 证：必要性.设 1 2 ( , , , ) n f x x x 正定，对每一个 k k n (1 ), 令 1 2 1 1 ( , , , ) k k k k ij i j i j f x x x a x x 1 2 1 2 ( , , , ) (1,2, , ) k k x x x x x A k x 对任意一不全为零的数 1 2 , , , , k c c c 有 1 2 1 2 f c c c f c c c k k k ( , , , ) ( , , , ,0, ,0) 0 1 2 ( , , , ) k n f x x x 是正定的，从而 A k (1,2, , ) 正定. det (1,2, , ) 0, 1,2, , . P A k n k k 充分性： 对 n 作数学归纳法. n＝1 时， 2 11 11 11 1 0. ( )i a a f x a x ，正定. 结论成立. 假设对于 n－1 元二次型结论成立，下证 n 元的情形. 设 ( ) . A a ij n n 令 1 11 1, 1 2 1 1,1 1, 1 1, , n n n n n n n n a a a a A a a a , = 则 1 nn A A a 又 A 的顺序主子式全大于零，所以 A1 的顺序主子式也全大于零. 由归纳假设，A1 正定，即存在可逆矩阵 G，使 此 处 证 明 强 调 定 义 法，培养学 生的应用能 力 此 处 证 明 讲解的数学 归纳法，培 养学生的逻 辑思维 能 力，并且讲 授中与多项 式一章的证 明相联系， 此类比体现 了事物普遍 联 系 的 观 点
G'AG= En-I'今C-(8 1)mCAC.-( 1)(α )(8 1)-(5c Ca)再今.-(5-0).数2观摩课教案C'(c'Ac)C -(r 1(E Ca)(F- -0)-(E-l0线- 6" am -α'GG'α)下再令C=C,C，a=am-α'GG'α,则有讲(E- 0)C'AC=oa思政：授两边取行列式，得cA=a分块矩阵新的初等变换方法与一般课的初等变换l4l>0，:.a>0方法体现了“特殊与一(E.-I般”的辩证即（“）为正对角矩阵.关系由判定充要条件3).知A正定，所以X'AX正定例判定二次型f(x,X2,X,)=5x +x2 +5x +4x,X -8x,X, -4x,X是否正定。二、判别设A是n级实对称矩阵。1）正定二次型（正定矩阵）的判别（1）实二次型f(x,xx）=dx+dx++dx是正定的当且仅当d, >0,i=1,2,,n证：充分性显然。下证必要性，若f正定，取X, =(,...0,1,.,...0),i-1,2,.,n(i)则f(X)=d,x,>0,d,>0,i=1,2,",n26
26 线 下 讲 授 新 课 1 1. G A G En 令 1 0 , 0 1 G C 则 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 n nn G G A E G C AC G a 再 令 1 2 , 0 1 C E G n 1 1 1 2 1 1 2 0 ( ) 1 0 1 n n n nn E E G E G C C AC C G G a 1 0 0 n nn E a GG 再令 1 2 , C C C a a GG nn ，则有 1 0 0 C AC En a 两边取行列式，得 2 C A a 。 又 A >0 ， a 0 即 En 1 a 为正对角矩阵. 由判定充要条件 3). 知 A 正定，所以 X AX 正定. 例 判定二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f(x1 , x2 , x3 ) 5x1 x 5x 4x x 8x x 4x x 是否正定。 二、判别 设 A 是 n 级实对称矩阵。 1）正定二次型（正定矩阵）的判别 （1）实二次型 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x x d x d x d x 是正定的当且仅 当 di 0,i 1,2, ,n . 证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取 0 ( ) (0, ,0, 1 ,0, ,0) , 1,2, , i X i n 则 2 0 ( ) 0, 0, 1,2, , i i i f X d x d i n 。 思政： 分 块 矩 阵 的初等变换 方法与一般 的初等变换 方法体现了 “特殊与一 般”的辩证 关系