§6.5 线性子空间2
§6.5 线性子空间 2
86.5线性子空间第六章线性空间预习问题1.线性空间的子空间的定义2.线性空间的子空间的证明方法3.常用子空间的举例
3 预习问题 1.线性空间的子空间的定义 第六章 线性空间 §6.5 线性子空间 2.线性空间的子空间的证明方法 3.常用子空间的举例
86.5线性子空间第六章线性空间子空问的概念1.定义7W称为数域p上线性空间v的（线性）子空间1) 0+wcv：2）W对V的两种运算构成P上的线性空间寻求更简洁的判定V的非空子集W构成V的子空间的充要条件是子空间研究的一个重要问题一定理2V的非空子集W是V的子空间Vα,βEW,vkEP,α+β、kαEW证明：必要性是显然的、现证充分性口据题设→W上存在向量加法、数乘运算，且满足P243算律1），2），5），6)，7)， 8)、→取k =0,则kα= 0α= 0EW;取k=-1,则ka=(-1)α=-αEW即算律3），4）成立→W关于V的两种代数运算构成P上的线性空间→据定义7即知W是V的子空间子空问本身就是一个线性空间一线性空间维数，基，坐标的概念及性质在子空间上仍然成立设W是V的子空间，则dimW<dimV
֎ ⇔ ∀𝛼, 𝛽 ∈ W, ∀𝑘 ∈ P, 𝛼 + 𝛽、𝑘𝛼 ∈ W 一. 子空间的概念 1.定义7 W称为数域P上线性空间V的（线性）子空间 1） ； 2） W 对 V 的两种运算构成P上的线性空间 ⚫ 寻求更简洁的判定V的非空子集W构成V的子空间的充要条 件是子空间研究的一个重要问题 → 定理2 V的非空子集W是V的子空间 证明： 必要性是显然的. 现证充分性. □据题设 → W上存在向量加法、数乘运算，且满足P243算律1), 2), 5), 6), 7), 8). → 取k = 0, 则kα= 0α= 0∈W； 取k = －1, 则kα= (－1)α=－α∈W 即算律3), 4)成立 → W关于V的两种代数运算构成P上的线性空间 → 据 定义7即知W是V的子空间. ⚫ 子空间本身就是一个线性空间 → 线性空间维数，基，坐标的概念及 性质在子空间上仍然成立 . ⚫ 设W是V的子空间，则dimW≤dimV . ∅ ≠ 𝐖 ⊂ 𝐕 第六章 线性空间 §6.5 线性子空间
第六章线性空间86.5线性子空间补充命题：线性空间V的非空子集W是V的子空间Va,βeW,va,bEP,aα+bβeW1证明：必要性显然成立，现证充分性取a=b=l,据题设Vα,βeW,α+β=1α+1βEW;取b=0，据题设Vα,βEW, Va,oEP, aα=aα+oβEW,由定理2即知W是V的子空间口实例：例1-2取V的子集{O]，则{O是V的子空间，称为V的零子空间；取V的子集V，则V是V的子空间→子空间O和V统称为V的平凡子空间，其余的子空间称为V的非平凡子空间
⇔ ∀𝛼, 𝛽 ∈ W, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑃, 𝑎𝛼 + 𝑏𝛽 ∈ W. 补充命题： 线性空间V的非空子集W是V的子空间 证明：必要性显然成立，现证充分性. 取a = b = 1, 据题设 取b = 0, 据题设 由定理2即知W是V的子空间. □ ∀𝛼, 𝛽 ∈ W, 𝛼 + 𝛽 = 1𝛼 + 1𝛽 ∈ W； ∀𝛼, 𝛽 ∈ W， ∀𝑎, 0 ∈ P, 𝑎𝛼 = 𝑎𝛼 + 0𝛽 ∈ W, 第六章 线性空间 §6.5 线性子空间 ⚫ 实例： 例1-2 取V的子集{0}，则{0}是V的子空间，称为V的零子空间；取V的子 集V，则V是V的子空间 → 子空间{0}和V统称为V的平凡子空间，其余的子 空间称为V的非平凡子空间
第六章线性空间S6.5线性子空间例3实系数多项式全体构成之集W是全体实函数构成线性空间的子空间。证明：取任两实系数多项式 f(x)=a,xn+ ···+a,x+aozg(x)= bmxm+ · · · +b,x+bo,不妨设n≤m，对任意实数c，d,cf(x)+dg(x) =(cbm+dO)xm+ : : : +(cb,+dan)xn+ : : : +(cb,+da)x+(cbo+dao)显然cf(x)+dg(x)仍是实系数多项式，故W是子空间例4 P[x]n是线性空间 P[x] 的子空间
例3 实系数多项式全体构成之集W是全体实函数构成线性空间的 子空间。 第六章 线性空间 §6.5 线性子空间 证明： 取任两实系数多项式 f(x) = anx n+ ··· +a1x+a0 , g(x) = bmx m+ ··· +b1x+b0 , 不妨设n≤m, 对任意实数c, d, cf(x)+dg(x) = (cbm+d0)x m+···+(cbn+dan )x n+···+(cb1+da1 )x+(cb0+da0 ) 显然cf(x)+dg(x)仍是实系数多项式，故W是子空间. 例4 𝑃[𝑥]𝑛是线性空间 𝑃[𝑥] 的子空间