沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第五章 二次型 5.4 正定二次型

S5.4 正定二次型2

§5.4 正定二次型 2

$5.4正定性第五章二次型二次型正定性的图像表示(1) f(x1,x2)= 6x -2x,x, + 5x2(2) f(x1,x,)=3x +4xix2 -2x2(3) f(x1,x2)=-2x +xix2 -3x3(4) f(x1,x2)=3x命令行窗口Figure口Xfx>》subplot(2,2,1);文件(F）编辑(E)查看(V)插入(I）工具(T）桌面(D）口(W)帮助(H)ezmesh（6*x12-2*x1*x2+5*x2*2）：0田0AO包-subplot(2,2,2):ezmesh（3*x12+4*x1*x2-2*x2.2）2-2 x, X,+5 ×,23 x,2+4 x, ×2-2×26xsubplot(2,2,3);ezmesh（-2*x12+x1*x2-3*x2.2.)：500subplot(2,2,4);100ezmesh(3*x12")0-1000555(1)1正定二次型0000-55X2X,xX13x,2(2）不定二次型2X3-3X100-10050（3）负定二次型-200055550000（4）半正定二次型5-5-5-5y×2X1x

二次型正定性的图像表示 2 1 2 2 2 （1） f (x1 , x2 ) = 6x1 − 2x x + 5x （2） 2 1 2 2 2 f (x1 , x2 ) = 3x1 + 4x x - 2x （3） 2 1 2 2 2 f (x1 , x2 ) = -2x1 + x x - 3x （4） 2 1 2 3 1 f (x , x ) = x 第五章 二次型 §5.4 正定性 （1）正定二次型 （3）负定二次型 （2）不定二次型 （4）半正定二次型

S5.4正定性第五章二次型预习思考二次型正定性的定义是什么？有几种分类

预习思考 第五章 二次型 §5.4 正定性 二次型正定性的定义是什么？有几种分类？

第五章二次型$5.4正定性定义4设f(αx1,x2,…,xn)是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数C1,C2,,Cn都有f(C1,C2,,Cn）>0，就称f(x1,x2,",xn)为正定的；如果都有f(C1,C2,,Cn)<0，那么f(x1,x2,,xn)称为负定的；如果都有f(C1,C2,",Cn)≥0，那么f(x1,x2,,xn)称为半正定的；如果都有f(C1,C2,,Cn)≤0，那么f(x1,x2,,xn)称为半负定的；如果实二次型f(x1,x2,…,xn)既不是半正定又不是半负定，那么它就称为不定的。实对称阵A称为正定的、负定的、半正定的、半负定的，如果实二次型X'AX是正定的、负定的、半正定的、半负定的

第五章 二次型 §5.4 正定性 定义4 设𝑓(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛)是一实二次型，如果对于任意一组 不 全 为 零 的 实 数 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐𝑛 都 有 𝑓(𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐𝑛) > 0 ， 就 称 𝑓(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛)为正定的；如果都有𝑓(𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐𝑛) < 0，那么 𝑓(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛)称为负定的；如果都有𝑓(𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐𝑛) ≥ 0，那 么𝑓(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛)称为半正定的；如果都有𝑓(𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐𝑛) ≤ 0 ， 那 么 𝑓(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛) 称 为 半 负 定 的 ； 如 果 实 二 次 型 𝑓(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛)既不是半正定又不是半负定，那么它就称为不 定的。 实对称阵𝐴称为正定的、负定的、半正定的、半负定的，如 果实二次型𝑋 ′𝐴𝑿 是正定的、负定的、半正定的、半负定的

正定二次型的判定1. 定理6实二次型f(xi，.……,xn)正定的充要条件是其正惯性指数为n.0)xCAKA1证明：二f正定，设f经可逆XkCiCMm(X=CY)化成的标准型为f=d+0XnCrk正→不妨设其中d,≤0(ke{12,n,x,=Ck,且不全为0=,=0, y=1, 代入X=CY, 得x =Cik,(否则C非可逆)→代入标准型，得f(cik,C)=d,O ++d-O+d,1+dk,O++d,O=d,≤0→不全为0的数cik,,CmR,3 f的值≤0,这与f 正定矛盾→>d>0 (i=l,n)，即f 的正惯性指数为n6

6 正定二次型的判定 1. 定理6 实二次型 f(x1 , ., 𝒙𝒏)正定的充要条件 是其正惯性指数为n. 1 11 1 1 2 2 3 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 , (1 ) 0 {1,2, , } 0, 1 , ( , ) , n n nn n n i k k k n k k k x c c y f f x y x c c y X CY f d y d y d i n d k n y y y y y x c x c X CY − +            =                = = + +   →   → = = = = = = = = = = ： 正定，设 经可逆线性替换 化成的标准型为 其中 不全为 正 不妨设其中 （ ） 取 ，代入 得 证明 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 ( , , ) 0 0 1 , , 0 0 , , 0 0 ( 1, , 0 0 0 ), . k nk k k k n k n nk k nk i f c c d d d d d x c C c c R f f d i d n f n − + = → →   = + + + + + → = +  =  且不全为 （否则 非可逆） 代入标准型，得 不全为 的数 ， 的值 ， 这与 正定矛盾 ＞ 即 的正惯性指数为 1 1 11 1 1 1 0 1 0 k k n k kk n nk nn n nk x c c c c x c c c c x c                           = =                           