沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第4章 不定积分 4.2 积分法（2/2）分部积分法

第四章$ 4.2分部积分法ettiiatthaaditthnt-ntthietisttCstteettttetdtntnietto换元、分部积分法·基本积分法：直接、求导·初等函数初等函数积分、分部积分公式一、积分方法比较二、三、有理函数的积分0lol00lx上页下页返回结束目录

§4.2 分部积分法 三、有理函数的积分 • 基本积分法:直接、换元、分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 第四章 目录 上页 下页 返回 结束 一、分部积分公式 二、积分方法比较

分部积分法分部积分公式一分部积分公式设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.那么(uv)'=u'v+u,移项得uv'=(uv)'-u'v.对这个等式两边求不定积分，得[u'dx=uv-[u'vdx, 或[udv=uv-{vdu这两个公式称为分部积分公式分部积分过程[uv'dx=[ udv=v-[ vdu=uv-[u'vdx=elool0l目录上页下页返回结束

•分部积分公式 设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数. 那么, (uv) uvuv , 移项得 uv (uv)uv. 对这个等式两边求不定积分, 得 •分部积分过程 这两个公式称为分部积分公式.   uv dx uv u  vdx , 或    udv uv vdu , uv dx uv u  vdx , 或  udv uv vdu ,              uv dx udv uv vdu uv u vdx  .            uv dx udv uv vdu uv u vdx  .            uv dx udv uv vdu uv u vdx   .            uv dx udv uv vdu uv u vdx . 一、分部积分公式 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程： [u'dx=[udv=v-[ vdu=uv-{u'vdx =...例1[xcos xdx =[ xd sinx= xsinx-[sin xdx=x sin x+cos x+C .例2 [xe*dx={ xdex=xex-[e*dx = xex-e*+C .使用经验例3[x?e*dx =J x?dex =x?ex-[e*dx?=x?ex -2 xe*dx = x?ex -2[ xde}反对幂指三=x?ex-2xe*+2Je*dx在后的微分。=x?ex-2xex+2ex+C=ex(x2-2x+2 )+C.ellol0lx目录上页下页返回结束

例1 x sin xcos xC . 例2 例3 x 2e x2xe x2e xC e x(x 22x2 )C.              分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 1    例 1 xcos xdx  xd sin x  xsin x sin xdx    例 1 xcos xdx  xd sin x  xsin x sin xdx    例 1 xcos xdx  xd sin x  xsin x sin xdx    xcos xdx  xd sin x  xsin x sin xdx 例 2 xe dx xde xe e dx xe e C x x x x x x       例 2 xe dx  xde xe  e dx xe e C. x x x x x x       例 2  xe dx  xde xe e dx xe e C . x x x x x x       例 2  xe dx  xde xe e dx xe e C . x x x x x x       例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x          . 例 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x       x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2   x e  xe  e dx x x x 2 2 2 例 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx 例 x x x x 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx 例 x x x x 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x       x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2   x e  xe  e dx x x x 2 2 2       x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2   x e  xe  e dx x x x 2 2 2 “反对幂指三” 使用经验 在后的凑微分 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：[uv'dx= [ udv=uv- [ vdu=uv-[u'vdx-例4Idx21nx[xlnxdx =dr2x21nxin22例5 [arccos xdx = xarccos x - [xd arccos xX=xarccosx(1-x2) 2d(1-x2)= xarccosx=xarccos x-/1-x2 +C0000x目录上页下页返回结束

例4 例5              分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2  x x  xdx  x x x C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 . 例 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 例 2 2 2 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 例 2 2 2 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2  x x  xdx  x x x C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 . 例 5   arccos xdx  xarccos x xd arccos x dx x x x x    2 1 1 arccos (1 ) (1 ) 2 1 arccos 2 2 1 2  x x x d x    x x x C 2 arccos 1 . 例 5   例 5 arccos xdx  xarccos x xd arccos x   arccos xdx  xarccos x xd arccos x 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

部积分法分部积分过程：[uv'dx= [udv=uv- [vdu=uv-[u'vdx= 例6arctan xdx2xarctan xdx2-arctanx22+11arctan xX221arctan x+Crctan2220101001x上页下页返回结束目录

例6              分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 6    2 arctan 2 1 xarctan xdx xdx      dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1      dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2  x x x arctan xC 2 1 2 1 arctan 2 1 2 . 例 6    2 arctan 2 1 xarctan xdx xdx      dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1      dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法