教学过程设计意图1. 学生带着教师：（线上教学准备）线1.学习通“通知”发布学生预习的“学银在线视频课”的内容及预习后回问题学习视上频课，使学答的问题。问题1：规范型的定义生把握重教点，有的放问题2：唯一性的含义学失，提高预问题3：惯性定律的内容习效果过2. 检验预习2.为学生编写、设计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。程效果人学生：（线上学习内容）3、4.通过视频课预习，3.学生学习通预习学银在线本节课的视频课。提前了解本并在学习通讨论区提问不懂的地方，师生共同讨论节课内容，4.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测验题。加深知识点理解。5、6.通过预习测验题的教师：（线上教学总结）扇形统计5．通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务点完成情况，督促未图，了解学生的知识点完成同学完成，确保任务点完成率达百分之百。掌握情况，使线下教学6.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解学生知识点掌握情况。更有针对性。人黄影17
17 教学过程 设计意图 线 上 教 学 过 程 教师：（线上教学准备） 1.学习通“通知”发布学生预习的“学银在线视频课”的内容及预习后回 答的问题。 问题 1：规范型的定义 问题 2：唯一性的含义 问题 3：惯性定律的内容 2.为学生编写、设计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。 学生：（线上学习内容） 3. 学生学习通预习学银在线本节课的视频课。 并在学习通讨论区提问不懂的地方，师生共同讨论 4.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测验题。 教师：（线上教学总结） 5. 通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务点完成情况，督促未 完成同学完成，确保任务点完成率达百分之百。 6.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解学生知识点掌握情况。 1.学生带着 问题学习视 频课，使学 生 把 握 重 点，有的放 矢，提高预 习效果 2.检验预习 效果 3、4.通过视 频课预习， 提前了解本 节课内容， 加深知识点 理解。 5、6.通过预 习测验题的 扇 形 统 计 图，了解学 生的知识点 掌握情况， 使线下教学 更 有 针 对 性
提问学生：通过线上预习，有哪些收获？1.二次型的规范型的定义？2.怎样理解“唯一性“3.惯性定律的内容线结合旧知，下引出新知。经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.合同课的矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换后，二次型矩阵的秩程是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上导不为零的平方项的个数.因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的入平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩至于标准形中的系数，就不是唯一确定的.在一般数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关强调同一一、实、复二次型的规范形个二次型在1.复二次型规范形的定义不同数域上的规范型的设f(x,x2，,x,)是一个复二次型，经过一适当的复数域上的非退不同。（体现”具体问化线性替换后，(x,r，…x,)变成标准形：题具体分析”的哲+..+d,y2,d, *0, i=1,2,,rdy+dy学思想）(1)线下r是f(x,x2，,x,）的秩，再作复数域上一非退化线性替换：讲V厦Va授1新YdYr+I = 2r+I课......[yn=zn式（1）就变成18
18 线 下 课 程 导 入 提问学生：通过线上预习，有哪些收获？ 1.二次型的规范型的定义？ 2.怎样理解“唯一性“ 3. 惯性定律的内容 经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.合同 的矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换后，二次型矩阵的秩 是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上 不为零的平方项的个数.因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的 平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵 的秩有时就称为二次型的秩. 至于标准形中的系数，就不是唯一确定的.在一般数域内，二次型的标准 形不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关. 结合旧知， 引出新知。 线 下 讲 授 新 课 一、实、复二次型的规范形 1.复二次型规范形的定义 设 1 2 ( , , , ) n f x x x 是一个复二次型，经过一适当的复数域上的非退 化线性替换后， 1 2 ( , , , ) n f x x x 变成标准形： d y d y d y d i r r r i , 0, 1,2, , 2 2 2 2 2 1 1 . （1） r 是 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的秩，再作复数域上一非退化线性替换： 1 1 1 1 1 1 1 r r r r r n n y z d y z d y z y z ， 式（1）就变成 强调同一 个二次型在 不同数域上 的规范型的 不同。(体 现”具体问 题具体 分 析 ” 的 哲 学思想)
+++(2)式（2）就称为复二次型f(，2，,x）的规范形，它完全被复二次型(2x,)的秩所确定。季课教案2.实二次型规范形的定义设f(x，x2,x,)是一实二次型，经过某一实数域上的非退化线性替换，可使f(x,x2,",x)变成标准形dy+dy?+.+dyp-dpyp-...-d,y.线式（3）中的d,>0,i=1,2,r，而r是f(x,x2x,)的秩。再作下实数域上一非退化线性替换：讲+Va授水新lo课V1=2r*,=zh式（3）就变成2+22++z0+1-...-2(4)式(4)称为实二次型f(x,x2x,）)的规范形。规范形式(4)完全被r,p这两个数所决定，p,r-p与p-(r-p)=2p-r分别叫做实二次型f(x,2，",x)的正、负惯性指数与符号差。3.唯一性思政：任一复二次型经过一适当的复数域上的非退化线性替换可以变成规一个二次型不同形式范形，且规范形是唯一的，由原复二次型的秩唯一确定：任一实二次型，的标准型有经过一适当的实数域上的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯统一的规范型体现”形一的（后者称为惯性定理）。变质不变”19
19 线 下 讲 授 新 课 2 2 2 2 1 r z z z ， （2） 式（2）就称为复二次型 1 2 ( , , , ) n f x x x 的规范形，它完全被复二次型 1 2 ( , , , ) n f x x x 的秩所确定。 2.实二次型规范形的定义 设 ( , , , ) 1 2 n f x x x 是一实二次型，经过某一实数域上的非退化线性 替换，可使 ( , , , ) 1 2 n f x x x 变成标准形 , 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 p p p p r r d y d y d y d y d y （3） 式（3）中的 0, 1,2, , i d i r ，而 r 是 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的秩。 再作 实数域上一非退化线性替换： 1 1 1 1 1 1 1 r r r r r n n y z d y z d y z y z 式（3）就变成 2 2 1 2 2 2 2 1 p p r z z z z z （4） 式（4）称为实二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的规范形。规范形式（4）完全被 r, p 这两个数所决定， p r p , 与 p r p p r 2 分别叫做实二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的正、负惯性指数与符号差。 3.唯一性 任一复二次型经过一适当的复数域上的非退化线性替换可以变成规 范形，且规范形是唯一的，由原复二次型的秩唯一确定；任一实二次型， 经过一适当的实数域上的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯 一的（后者称为惯性定理）。 思政： 一个二次 型不同形式 的标准型有 统一的规范 型体现”形 变质不变
的哲学思想4.复数域与实数域上的矩阵合同的充分必要条件E.1）任一复数对称矩阵合同于一个形式为的对角矩阵，r为该0复数对称矩阵的秩，且可以为零，从而有两个复数对称矩阵在复数课教案域上合同的充分必要条件是它们的秩相等，因此两个复二次型等价当且仅当它们的规范型相同，当且仅当它们的秩相同。2）任一实对称矩阵A都合同于二个下述形式的对角矩阵：0)(EO0-Er-p0000矩阵式（5）的主对角线上1的个数p及-1的个数r-p（r等于A的秩）都是唯一确定的，分别称为实对称矩阵A及实二次型X'AX的正、负惯性指数，它们的差2p-r称为A及XAX的符号差。两个实对称阵在实数域上合同当且仅当它们有相同的秩和正惯性指数，两个实二次型等价当且仅当它们的秩相等，而且正惯性指数也相同。3）任何一个n级可逆复对称矩阵必合同于以下形式的矩阵之一：0OE0EE,00[(n= 2r+1)2r)E.(001)4）任何一个n阶可逆实对称矩阵必合同于以下形式的矩阵之一：00ro0E,E,E,00E,000En-2r000-E,-2新线上视频课有课外拓展内容。培养学生的逻辑思维能知力扩展小实数域与复数域上的二次型化为规范形的方法，理解唯一性。复数域与实数域上的矩阵合同的充分必要条件。结20
20 4.复数域与实数域上的矩阵合同的充分必要条件 1） 任一复数对称矩阵合同于一个形式为 r E O 的对角矩阵， r 为该 复数对称矩阵的秩，且 r 可以为零，从而有两个复数对称矩阵在复数 域上合同的充分必要条件是它们的秩相等，因此两个复二次型等价当 且仅当它们的规范型相同，当且仅当它们的秩相同。 2）任一实对称矩阵 A 都合同于一个下述形式的对角矩阵： p r p E O O O E O O O O （5） 矩阵式（5）的主对角线上 1 的个数 p 及1 的个数 r p （ r 等于 A 的秩） 都是唯一确定的，分别称为实对称矩阵 A 及实二次型 X AX 的正、负惯 性指数， 它们的差 2 p r 称为 A 及 X AX 的符号差。两个实对称阵在 实数域上合同当且仅当它们有相同的秩和正惯性指数，两个实二次型等价 当且仅当它们的秩相等，而且正惯性指数也相同。 3）任何一个 n 级可逆复对称矩阵必合同于以下形式的矩阵之一： 2 r r n r O E E O ， 2 1 1 r r n r O E O E O O O O 4）任何一个 n 阶可逆实对称矩阵必合同于以下形式的矩阵之一： 2 r r n r O E O E O O O O E ， 2 r r n r O E O E O O O O E 的哲学思想 新 知 扩 展 线上视频课有课外拓展内容。 培养学生的 逻辑思维能 力 小 结 实数域与复数域上的二次型化为规范形的方法，理解唯一性。复数域 与实数域上的矩阵合同的充分必要条件
对于本节课惯性定律的证明技巧思的教学重点考与是否掌握牢固.练习巩固所学摩诊作P2 1(II) 1) 2)业阅多角度学习1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社读触类旁通文2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。献3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社1.学生对惯性定律的证明问题较大，不理解证明方法。教应对办法：晚上钉钉开直播，重新讲解该定理的证明。学2.通过学习通后台的统计，发现个别学生存在拖拽视频、倍速听课问题，反不按时完成视频预习的问题。思应对办法：设置禁止拖拽：微信群里表扬按时完成视频学习的同学，并点名督促未完成学生。1黄影21
21 思 考 与 练 习 惯性定律的证明技巧 对于本节课 的教学重点 是否掌握牢 固. 作 业 P233 1(II) 1) 2) 巩固所学 阅 读 文 献 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 多角度学习 触类旁通 教 学 反 思 1. 学生对惯性定律的证明问题较大，不理解证明方法。 应对办法：晚上钉钉开直播，重新讲解该定理的证明。 2. 通过学习通后台的统计，发现个别学生存在拖拽视频、倍速听课问题， 不按时完成视频预习的问题。 应对办法：设置禁止拖拽；微信群里表扬按时完成视频学习的同学， 并点名督促未完成学生