沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第5章 不定积分 5.4 分部积分法

第四章 §5.4 分部积分法 ·基本积分法：直接、换元、分部积分法 求导 ·初等函数 初等函数 积分 一、分部积分公式 二、积分方法比较 三、有理函数的积分 目录 上页 下页 返回 结束

§5.4 分部积分法 三、有理函数的积分 • 基本积分法:直接、换元、分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 第四章 目录 上页 下页 返回 结束 一、分部积分公式 二、积分方法比较

分部积分法分部积分公式一分部积分公式设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.那么(uv)'=u'v+u,移项得uv'=(uv)'-u'v.对这个等式两边求不定积分，得[uv'dx=uv-[u'vdx, 或[udv=uv-{vdu,这两个公式称为分部积分公式分部积分过程[u'dx=[udv=v-[vdu=uv-[u'vdx=...o010l目录上页下页返回结束

•分部积分公式 设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数. 那么, (uv) uvuv , 移项得 uv (uv)uv. 对这个等式两边求不定积分, 得 •分部积分过程 这两个公式称为分部积分公式.   uv dx uv u  vdx , 或   udvuv vdu ,   uv dx uv u  vdx , 或   udv uv vdu ,              uv dx udv uv vdu uv u vdx  .            uv dx udv uv vdu uv u vdx  .            uv dx udv uv vdu uv u vdx  .            uv dx udv uv vdu uv u vdx . 一、分部积分公式 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：[uv'dx=[udv=uv-[vdu=uv-[u'vdx=...例1[ xcosxdx= [xd sin x= xsin x-[sin xdx=x sin x+cos x+C.例2[xe"dx=[xdex = xex-[e"dx= xex-e' +C .使用经验例3[x?e*dx= [x?dex =x?ex-[e*dx?=x2ex-2[xe*dx=x?ex-2[ xdex“反对幂指三=x?ex -2xe*+2[e*dx在后的微分。=x?ex-2xex+2ex+C=ex(x2-2x+2 )+C.elol0l0lx目录上页下页返回结束

例1 x sin xcos xC . 例2 例3 x 2e x2xe x2e xC e x(x 22x2 )C.              分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 1    例 1 xcosxdx  xd sin x  xsin x sin xdx    例 1 xcosxdx  xd sin x  xsin x sin xdx    例 1 xcosxdx  xd sin x  xsin x sin xdx    xcosxdx  xd sin x  xsin x sin xdx 例 2 xe dx xde xe e dx xe e C x x x x x x          例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x          例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x          例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x          例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x          . 例 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x       x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2   x e  xe  e dx x x x 2 2 2 例 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx 例 x x x x 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx 例 x x x x 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x       x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2   x e  xe  e dx x x x 2 2 2       x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2   x e  xe  e dx x x x 2 2 2 “反对幂指三” 使用经验 在后的凑微分 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：[uv'dx=[udv=uv-[ vdu=uv-[u'vdxdx1 xdx221nx例4 xln xdx =rV2Qx2nxlnx22例5 [arccosxdx = xarccosx-[xdarccosxdx=xarccosx-x2) 2d(1-x=xarccosx=xarccosx-1-x2 +C 0000X目录上页下页返回结束

例4 例5              分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2  x x  xdx  x x x C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 . 例 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 例 2 2 2 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 例 2 2 2 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2  x x  xdx  x x x C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 . 例 5   arccosxdx  xarccosx xd arccosx dx x x x x    2 1 1 arccos (1 ) (1 ) 2 1 arccos 2 2 1 2  x x x d x    x x x C 2 arccos 1 . 例 5   例 5 arccosxdx  xarccosx xd arccosx   arccosxdx  xarccosx xd arccosx 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

部积分法分部积分过程[u'dx=[udv=uv-[ vdu=uv-[u'vdx=..例6arctanxdx2xarctanxa21-2arctanxdx22+12arctanxdx+221arctanx+CrctanxX222elololol上页下页返回结束目录

例6              分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 6    2 arctan 2 1 xarctanxdx xdx      dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1      dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2  x x x arctanxC 2 1 2 1 arctan 2 1 2 . 例 6    2 arctan 2 1 xarctanxdx xdx      dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1      dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法